OC-K

C«'— Ai»'

portant cette valeur dans l'équation formée parle premier et le dernier rapport, et posant m= na, nous obtenons

expression évidemment positive ; d'où

'^ -a.(C-F)-(A-F) ^ C-Aa»

Pour que cette dernière expression soit positive, il faut qu'on ait

yA condition qui est satisfaite; car si nous remplaçons dans réquation qui donne ^, cette lettre par i/-T-> nous obte^

nons un résultat négatif; donc i/— tombe entre les deux

racines, la positive ou a est donc plus grande que i /—•

Déterminer la directrice dans une courbe quelconque du second degré. Si nous appelons ^ la distance d'un point quelconque de la courbe à la circonférence qui a pour équation

my -4- //a? 4- /> =r 0,

lions aurons, d'après une des formules précédentes,

my H- nx -hp

sio S =.

y'î H- jr'-f- 7». y//iî» 4- «' -h ^'

( M9 ) Nous avons déjà pour la distance du même point de la courbe au foyer

siu o — . / î

d'où

sjD S' __ \/i -i-x] -h.r;

sin $ ^ v///î' -h n' -h /?'*

quantité constante.

Donc , étant donnée une courbe sphérique du second degré et un de ses foyers, on peut trouver une circonférence de grand cercle telle, que les sinus des distances d'un point de la courbe à cette circonférence et au foyer donné soient dans un rapport constant. On aura donc deux directrices correspondantes chacune à chaque foyer, et, pour avoir Téquation d'une directrice, il sufBt d'égaler à zéro le numérateur de la fraction rationnelle qui donne la tangente de la distance d'un point au foyer. Ainsi, quand la courbe est rapportée à ses axes, on trouve

ex a

taDgd=:

^ i -hcx

L'équation d'une des directrices est donc

ce qui montre que la directrice est la polaire du foyer, comme on peut le démontrer aussi sur l'équation générale. Pour obtenir géométriquement la directrice, il suffira donc d'élever par le foyer un arc perpendiculaire à l'axe jusqu'à la rencontre du cercle principal, de mener à ce cercle parle point de rencontre un arc tangent, qu'on prolongera jusqu'à l'axe; on aura ainsi le pied de la di-

( a5o ) rcclrice, ce qui suffira pour la déterminer. L'expression de lang â donne encore

donc on aura

sin^^ y/i 4- g* a ^ï -h c^ tangacosy

sin S I ^ ' / ^ *~ sin 7

en appelant y la distance du centre à la directrice, y celle du centre au foj'er, et a le demi-axe des foyers.

Théorème. Si une circonférence de grand cercle coupe la courbe en deux points A et B, et si on la prolonge jusquà la rencontre de la directrice en C, Varc qui joindra le point C au foyer F correspondant à cette directnce, diifisera en deux parties égales V angle extérieur du triangle ABP.

Se démontre comme sur un plan.

Corollaire. Si Tare qu'on prolonge jusqu'à la directrice est tangent à la courbe au point A, l'angle AFCsera droit*, d'où il résulte que la polaire d'un point C de la directrice passe au foyer, et fait un angle droit avec Tare qui joint le point C au foyer. Delà un moyen graphique de mener une tangente à la courbe par un point de son contour, et aussi par un point quelconque. En effet, soit A ce point *, supposons le problème résolu et soient m et nies points où la polaire de A coupe les deux directrices, joignons A au foyer F, et concevons cet arc prolongé jusqu'à ce qu'il coupe la directrice correspondante; soit D le point de rencontre, les trois points A, F, D étant sur une même circonférence, leurs polaires passent au même point ^ or la polaire du foyer est la directrice, et la polaire du point D est une circonférence menée par F per-

(a5i ) pendicul ai rement à l'arc AFD : donc la rencontre de cet arc avec la directrice donnera le point n. Le point m se trouvera de même, en joignant A au deuxième foyer P, et en menant sur AF' un arc perpendiculaire prolongé jusqu'à la deuxième directrice ; on joindra ensuite les points m etn par un arc de grand cercle qui sera en général la polaire du point A. Les points de contact seront à l'intersection de cette circonférence polaire avec la courbe. Si la courbe n'est pas tracée et qu'on connaisse ses foyers et l'axe, on pourra trouver les deux points de rencontre géométriquement.

Problème. Étant donnés iinfoyer^ sa directrice et un point A, construire la courbe.

Si du foyer F nous abaissons sur la directrice un arc perpendiculaire coupant la directrice au point m, nous aurons ainsi la direction de Taxe: pour trouver les sommets, abaissons du point A une perpendiculaire sur la directrice, soit P son pied. Menons la bissectrice AD de l'angle PAF 5 le point D divisera l'arc FB en deux parties, dont les sinus seront comme siiius AP est à sinus AF. Pour avoir un sommet, il suffit dpnc de diviser l'arc ¥m de la même manière. Pour cela, il faut prendre à partir du milieu I de m P un arc IH d'un quadrant, et joindre H au point D, la rencontre de l'arc HD avec l'axe sera un des sommets-, faites la même construction après avoir tracé la bissectrice extérieure au sommet A du triangle PAD, vous aurez Iç second sommet de la courbe.

Problème. Étant donnés unfoyerY et trois points A, B , C d'une conique sphérique^ la construire.

La construction géométrique qu!on emploie sur un plan s'applique sur la sphère et donne quatre solutions. Nous allons indiquer la solution analytique. Si nous prenons le foyer comme origine des coordonnées et des axes

( a5a ) rectangles, Féquatiou de la courbe sera

m^ Hy p sont les inconnues. Soient a et ê^les tangentes des coordonnées du premier point, et d la tangente de sa distance au foyer, etc., nous aurons les trois équations

±^ r=m6 -h/ia -H/?, ±:^' = m6' H- /i a' H- /?,

±:r=:w6"+/ia"-{-/?.

Prenons d'abord les signes supérieurs, nous aurons facilement m, n et /7, sous la forme

Si nous prenons les doubles signes pour d' et d^ seulement, nous aurons quatre systèmes de valeurs pour m, n^p. Quant à prendre le double signe pour <î, cela reviendrait à cbanger à la fois les signes de m, de n et dep, ce qui donne les mêmes directrices et par suite les quatre mêmes courbes. .

Lemme I. Étant donnés deux points A et B, trouver le lieu du point M tel, <fue l'angle AMB soit droit»

Prenons pour origine le point milieu de Tare AB, appelons a a la distance AB que je supposerai moindre qu'un quadrant, z la latitude de m et jc sa longitude ou son abscisse, nous avons par une propriété connue du triangle rectangle

sin' z = tang ( « -h « ) . tang (a — x).

C'est Téquation du lieu, mais il faut quelques transformations pour reconnaître la nature de la courbe. On a

d'aboiti

taog'^i — lang^j:

sin'2 = — 2 2— •

I — /'« tapg'^

( ^53 ) delà

tang^.s {i — tang'ti ) + sin*ar = cos' x tang'^ ;

si nous projetons Tare z sur Taxe des^ et que nous appelions Y la tangente de la projection, nous trouverons

tangVr ^ X»

(sîn* a \ coma)

tang' a

ou, plus simplement,

en posant

sin» a ^,

= 6% et tang a = a.

CCS 7. a

C'est donc une ellipse sphérîque; les foyers se trouvent sur l'axe des j.

Remarque » Si on prend pour origine le point A, on arrive plus simplement encore au résultat qui est

jc* -h j' — A X = o.

A exprime la tangente de Tare donné Â6.

Lemme II. Étant donnés, deux points A et B, tromper le lieu du point m /e/, que les sinus des distances de m à fi et à ^ soient dans un rapport donné.

Ce problème, comme dans la géométrie plane^ se ramène au précédent. Le lieu est donc une ellipse sphérique.

Problème. Étant donnés la directrice d'une conique sphérique et deux points A, B, trouuer le lieu du foyer.

Ce problème se ramène facilement à trouver le lieu des points tels, que les sinus de leurs distances aux points donnés soient comme les sinus des distances de chaque point à la directrice. Le lieu est donc une ellipse dont l'axe est dirigé suivant l'arc AB; une extrémité de cet axe

est à la rencontre C de l'arc ÂB prolongé jusqu'à la directrice. On peut trouver l'autre extrémité. par la construction suivante : Abaissez des points A, B les arcs AA', BB' perpendiculaires à la directrice^ soit O leur rencontre ; joignez le point O à la rencontre des diagonales du quadrilatère ABA'B' par un arc coupant AB en un point D^ les quatre points C, A, D, B sont harmoniques; donc on a

sin AD sin AC __ sin A A'

sinBD "" sinBC "~" sinBB'*

Donc le point D est un point du lieu demandé; il en est de même de sa projection D' sur la directrice. On pourra trouver le second axe géométriquement au moyen de cette propriété évidente du cercle principal : les tangentes des ordonnées de deux points correspondants dans la courbe et le cercle principal sont comme les tangentes des deux demi-axes de la courbe.

Problème. Etant donnés la directrice et trois point s^ construire la courbe.

Ce problème, d'après ce qui précède, se ramènera à construire deux ellipses dont Tinterseclion donnera le foyer. Si Ton voulait le résoudre par Tanalyse, on pourrail prendre la directrice pour axe des j^; et l'équation de la courbe serait

rt'a:» = (x —y y + (^ — ^'T ■+■ ix^' — x'^Yf

.r', y désignant les tangentes des coordonnées du foyer. Les coordonnées des trois points devant vérifier cette équation , on serait conduit à résoudre trois équations à trois inconnues, n s'élimine immédiatement, et il reste deux équations du second degré entre x' et y^ dont chacune représente une des ellipses ci-dessus indiquées.

Propriétés de l 'ellipse rapportée à ses axef. On a vu

( 255 ) qu'elle avait pour équation

Si sur A"B comme diamètre on décrit un cercle qu'on appel-

FlG - I -

lera cercle principal, on aura, entre les ordonnées Y et y de ce cercle et de Tellipse correspondantes à une même abscisse, la relation

Cette relation a également lieu pour les arcs latitudes des deux points ou leurs projections sur l'axe desj^. De là résulte un moyen de construire Fellipse par points quand on connaît ses axes. On mènera par un point M quelconque du cercle principal l'ordonnée MD ; on joindra P et M par un arc de grand cercle qu'on prolongera jusqu'à la rencontre de l'axe AB en H^ on joindra CH par un arc qui coupera l'ordonnée MD en un point N. Ce point appartiendra à la courbe.

Si Ton joint deux points M , N de l'ellipse par un arc de grand cercle et les points correspondants du cercle principal par un second arc M', N', ces deux arcs viendront couper Taxe commun au même point. Si les deux points M el N sont supposés infiniment voisins , on aura le corollaire, suivant :

Deux tangentes menées Tune à l'ellipse, Tautre au cercle principal en des points correspondants coupent l'axç

( 256 ) commun au même point. Ce qui donne un moyeu géométrique de faire passer par un point quelconque une tangente à une ellipse sphérique , et aussi de mener une tangente commune à deux ellipses ayant leurs axes a , a' sur un même cercle , et les tangentes des quatre axes étant données en proportion.

Problême. Étant donnés les directions des axes d'une ellipse et deux points ^ trou\*er la grandeur des axes. Soient A et B les points donnés , A' et B' les points cor-

respondants du cercle principal supposé connu, C et CJ les points symétriques'de B et B', X la rencontre de Parc AB avec l'axe OX , Y la rencontre du même axe avec Tare AC ou avec A'C, enfin P la rencontre des arcs A'AelB'B. D'après un théorème démon tié plus haut sur les sécantes menées d'un même point X , l'arc PY sera la polaire deX. Soit T le point où cette polaire coupe le cercle ^ le triangle OTX sera rectangle et donnera

tangOX.tangOY == tang^OT = tangua

[a étant le demi-axe sur OX). On construira donc a en se servant du théorème sur la sécante et la tangente au cercle menées d'un même point. L'autre axe se trouve de même»

Problème. On donne un des axes d'une ellipse en direction et trois points , trouver le centre et les axes en grandeur.

Soient A , B , C les points donnés, MN la direction de i^axe a inconnu, et O le tentre supposé connu ^ soit en^

FiG. 3.

core B' le symétrique de B-, prolongez les arcs AB et AC jusqu'à la rencontre de l'axe aux points X, X'. On aura, d'après le problème précédent,

tang^ a = tang OX . tang OY.

Opérant de même sur les points A et C , nous aurons

tang'ii = tang OX'. tang OY',

Si nous prenons

0Z=20Y, ON = 2iOX, 0Z'=r20YS 0M = 20X',

et que sur ZN pris pour arc nous décrivions un ceicle et un autre sur mZ' ^ il suffira de construire l'axe radical de ces deux cercles, et son intersection avec MN donnera le centre. La tangente menée de ce point à l'un des cercles fera connaître le demi-axe a.

Théorème. Dans une ellipse^ les tangentes carrées des latitudes de deux points sont comme les produits des sinus des segments détefminés sur l^ axe par les or'données des deux points.

Ann. de Mathémat., (.XVII. (Juillet i858.) 17

(^58) Si dans réquation de Tellipse nous remplaçons Tordonnée géométrique par la latitude, il faudra au lieu dey

mettre — — ? ce qui transforme F équation et donne