IV. Trouver la dérivée de arc lane -, r
^ I — tib — ax — bx
Dire pourquoi elle est la même que la précédente. On a
a-i- b -h X — abx i — ab
-har
I — ab — rtx — bx a-^ b
I rx
•I — ab
L'expression dont on cherche la dérivée est donc celle de la précédente^ dans laquelle on a changé a en —
I — ab Donc la dérivée doit être encore -.
V. Trouver les bases dans lesquelles im nombre peut être égal à son logarithme , en employant Tun des procédés suivants :
i**. On étudiera la fonction x — logx^ et l'on cherchera la condition pour qu'elle puisse devenir nulle.
a°. On étudiera la fonction ; 5 et l'on cherchera la
logx
condition pour qu'elle puisse devenir égale à Tuniié.
3**. On étudiera la fonction ax — x^ et l'on cherchera
la condition pour qu'elle puisse devenir égale à zéro.
a* 4°. On étudiera la fonction — » et Ton cherchera la
<:ondition pour qu'elle puisse devenir égale à Tunité.
(*) arc tangx = tang""'*. Tii.
(i5) Étudions d'abord la fonction y=^ x — log ar. La dérivée est
Supposons d'abord la base a >• i . Depuis x = o jusque ar = logc, y est négatif, et depuis x = Ioge jusque a: = 00 , y est positif.
Ainsi y décroit lorsque x varie de o à log e, et croît lorsque x varie de log a à oo , et la marcbe de la fonction sera indiquée par le tableau suivant :
x=ro, r=OD,
jr = log tf , ^ = log e — log (log é) minimum ,
Pour que la fonction y puisse devenir nulle , il faut donc que l'on ait ■
logtf — log(logO<o ou
e<Iogéf, ce qui devient successivement
Si on suppose, en second lieu, la base a <^ i, log e est négatif^ il n'y a plus de minimum et ^ croit d'une manière continue depuis — oo jusque -4- oo , donc y passe une fois par o, donc la condition cherchée est bien
Etudions la
fonction
Nous
• aurons
-^ \ogx ^f logo:— log<r
et y^ s'annule pour x = e.
Supposons d'abord a > i.
Pour
on aura
ar=:i — A,
r = une quantité négative très -grande,
r=±:oo,
j^ = une quantité positive très-grande,
V = j minimum ,
log e
Pour que la fonction p^ puisse être égale àrunité, il faudra donc que Ton ait
î — «C* I ou a <r <? .
log^ ^ ^*
Si û est <[ I , on aura
« = I — ^ , j = une quantité positive très-grande,
jr = H- /i , j = une quantité négative très-grande,
* == ^» ^ = , maximum (quantité négative),
La fonction j passera une fois par la valeur i , et c'esi^
entre a: = o et a: = i .
(»7) 3^. Éludions la fonction
y = a' — X, Nous aurons
y' z=:a*la — I.
Supposons ûJ > lî /' sera négatif, lorsque x variera de — 00 àx = log(~)» et sera positif, lorsque x variera de cette valeur à a: = oo . Donc lorsque x varie de — oo à log { •— p 1^ fonction y est décroissante, et elle est décroissante depuis X = log ( — j jusque ar = oo , et on a
a: = log ( ^ j > r == l^g <^ — log (log e) minimum ,
Pour que y «'annule , il faudra que Ton ait
loge — log (log <?)<o,
ou
a < tf^.
Si a ^st <; I ,y' est constamment négatif, et la fonction jr décroîtra constamment de -i-oo à — oo , lorsque x variera de — 00 à -f- flo , donc y s'annulera une fois. 4**. Étudions la fonction
Nous a urons
xa*la — «• '
Supposons a]>i, on voit facilement que y est négatif lorsque x varie de — oo à r-» et qu'il est positif lorsque x
varie de — a oo .
la '—
Un. de Matk^at,,X.XVlh (Janvier i858.) ^
(»8) La fonction y décroît de o à — oo 5 lorsque x varie
de — 00 ko\y décroît encore de H- 00 à a'^ la^ lorsque a:
varie de o à — ? et j^ croît de û ** /a à -I-qo , lorsque x va-
ne de V- * -f- 00 .
la
Si y passe par Tunité , a'^ la étant un minimum ^
on aura
fl'^/£l<l
ou
Si a est <i> on^ voit facilement que j^ varie de — 00
à û'^/a, lorsque a: varie de o à --; il est maximum pour
X = — î et décroît de a '^ /« à — 00 , lorsque x varie de — la ^ la
à o. Enfin y décroît de 00 à o , lorsque x varie de o à 00 .
Et on voit que y passera une fois par l'unité.
