AA
( >59 ) On voit d'après celte relation que si Ton prend sur le
diamètre MN une longueur OD = --3 les cordes menées
du point D auront pour diamètre OA. Ainsi les deux
Fie. 4.
cercles OA et OD sont lels^l^ue chacun est le diamètre des cordes concourant avec l'autre à 90 degrés du centre. On les nomme diamètres conjugués. Sî l'on joint A aux points M et N , on a évidemment deux tangentes , en sorte que la polaire d'un point A à 90 degrés du centre n'est autre que le diamètre des cordes menées de ce point> Si par le point C, extrémité de Taxe , on lui mène un arc perpendiculaire prolongé jusqu'à la rencontre de deux diamètres conjugués, puis qu'on projette les arcs CL, CN' sur l'autre axe, on aura, en nommant p et p' les tangentes en valeur absolue de ces projections ,
quant aux axes eux-mêmes, on aura.
tangCL • taog CN' =n b^ ces' a.
uipplications. Etant donné un diamètre ON, construire géométriquement son conjugué.
On y parvient aisément à l'aide du théorème sur les sécantes au cercle menées d'un même point.
Application. Étant donnés les axes d'une ellipse^ construire deux diamètres conjugués qui fassent entre eux un angle a (a < 90 degrés).
Supposons le problème résolu , et soient OM , ON les deux diamètres demandés et OA Taxe; prolongeons ces
FiG. 5.
trois arcs jusqu'à leur rencontre en M', N', A' avec uh grand cercle ayant O pour pôle; Tare M' N' sera égal àf a , et Ton aura
./«./ WT/ tangAM.tangAN h^
a et J représentant les tangentes des demi-axes. Si donc on élève aux points A et B, extrémités des axes, deux arcs perpendiculaires se coupant en M", qu'on prolonge Tare IVf jusqu'en T, on aura
taBgA'T=-;
donc on a
ung A' M' . Ung A' N' = tang» A'T.
Le problème est donc ramené à diviser un arc M^N' en deux segments tels , que le produit de leurs tangente» égale tang* A' T. Pour cela , je prends
A'S = 2A'T et SS'=r2a;
t >6i) sur SS' comme arc diamétral je décris un cercle, et de O comme pôle un autre cercle avec OS — A' S comme distance polaire 5 je suppose que les deux cercles se coupent en V, V^ je projette V sur SS' et j'ai
RS' RS ,RV ^ ^A' b'
tang — lang — = taag» — = tang» ^ = ^î
or
RS RS^ a 2 ^
donc il suffit pour achever la construction de prendre
RS RS' A^M' et A'N' égaux aux arcs — > — > et de prendre O
aux points M', N' ainsi obtenus.
Discussion, Pour que les cercles se coupent, il faut qu'on ait
A'S<a, OU
tang*A'T<ta«ga, ou
lab
ce qui donne le minimum de l'angle aigu formé par deux diamètres conjugués. Quand on prend poxir a sa valeur minimum, il résulte de la construction que les deux diamètres sont également inclinés sur l'axe, et par conséquent sont égaux ; ils sont représentés par OM^'T et sont symétriques par rapport à Taxe de la courbe.
( 26a ) QUESTIONS.
sin(ai -t- a>4- «3-^-. ■ .-4- «w) sin or« sin (a, + ai -+- a. H- . . . H- a„)
sin ai sin oL-t
sina«sin(ao -t- «i) sin (a,-|- a,)sin(ao-h a, -ha»)
sin««
Hr. ..H-
sin(flfo + ai -h... + fl5n.-i)siB(ao-f-a, -f- a, -^ . . . 4- ««)
(Oscar Werwer.)
443. Par un fointjixe donné dans le plan d'une jconique passe une sécante mobile^ trouver le lieu géométrique du point d'intersection des deux normales menées à la conique aux deux points où la sécante coupe la conique. Quel est le lieu lorsque le point Cxe est un foyer?
444. On a n urnes renfefn^ut chacune les m premiers numéros. On tire un numéro de chaque urne; quelle esi ta probabilité que la somme des nombres sortis i^ soit égale à un nombre donné? 2^ soit comprise entre deux nombres donnés ?
445. Si dans un déterminant d'ordre n on efface tous les termes qui renferment au moins deux éléments de Tune quelconque des deux diagonales ou d'une parallèle à ces diagonales, quel est le nombre des termes rcstanls?
SOLUTION m LA «UESTiON 431 (PROIIHET)
(voir p. 188) i
Par m. Albert BERGIS,
Élève de seconde au lyeée Cbarlemagae (dasAe de M. Roucbé ).
ABCDEF est un hexagone inscrit dans une circonfé-' rcnce. Si Von pose
AB = iï, €D = è, EF = c,
CF = A, BE = B, AD=:C, on aura
A.B.C = aa' A -h W B H- ce' C -h fl«»c -f- a' b'i:K
Désignons par
les diagonales
