A'.B',CD

les deux valeurs

(û^-*-c'C)(AB-.cc'),

qu^l suffit d'égaler pour trouver, réductions faites, la relation à démontrer.

Note, M. L.-M.-A.-G. Ândanson, professeur à Tournus, constate qu'il n'existe que deux systèmes distincts de trois quadrilatères qui mènent chacun au but.

MM. L. Brault (institution Barbet), L. Chaillot (classe de' M, Lenglier, Jycée de Versailles), H. Hermary (lycée de Saint-Omer, classe de M. Souillart), Mendes (lycée Saint-Louis, classe de M. Brioi), J. Grouvelle (lycée Louis-le-Grand , classe de M. Vieille), ont résolu la question de la même manière.

(TOirt.XVI, p. kfiV;

Par m. g. JOURNEAUX, de Liège.

Deux points matériels parcourent d'un mouvement uniforme, avec des vitesses données en grandeur et en direction, deux droites situées dans l'espace; trouver l'équation de la surface décrite par la droite variable qui passe par deux positions simultanées des points matériels,

Soient M et M' les deux points mobiles, i^ et t^ leurs vitesses, A et A' leurs positions respectives sur les droites données à l'origine du mouvement, et posons AA'= 20. Prenons le milieu O de A A' pour origine, pour axe des z la droite A A' elle-même, et pour axes des x et des j les parallèles menées par le point O aux deux droites données. Les coordonnées positives sont comptées dans le

( 265 ) sens du mouvement. Les équations de la droite AM seront

zz=zê et j = o ;

celles de la droite A' M'

z = — S et j: = o.

Les coordonnées du point M, après un temps quelconque f , seront donc

X =zvt, ^ = o et z:= S;

celles du point M', au même instant,

x = o, 7 = p'r et 2 = — i.

On aura donc pour équation de la droite passant par ces deux points

ar— vt-=.-—T{z — o) (D) { et

et, en éliminant t entre ces deux équations, on obtiendra pour l'équation de la surface

Les sections de cette surface par les plans des xz et des j2 sont, comme on devait s'y attendre, les deux droites données elles-mêmes. La section par le plan des dcy est la

droite

z = o, j z= - jr.

Ainsi la surface représentée par Téquatiou (S) est un paraboloïde hyperbolique, puisque le paraboloïde hyper-

( 266 ) bolique est la seule des surfaces du second ordre sur laquelle on puisse trouver, comme ici, trois droites parallèles à un même plan, et non situées dans un même plan.

Ce pa raboloïde est déterminé géométriquement, puisque nous connaissons trois génératrices d'un même système. Si Ton veut qu'il soit donné par deux directrices et un plan directeur, nous remarquerons que la droite mobile qui, d'après Ténoncé du problème, engendre la surface, doit coïncider, dans ses positions successives, avec les génératrices du second système. Or, si l'on élimine z entre les équations (D) de cette droite, on trouve, pour équation de sa projection sur le plan des xy^

La droite mobile est donc constamment parallèle à un même plan, ce que, du reste, on savait déjà, et Ton obtiendra ce plan directeur en menant par Torigine, dans le plan des xy^ la droite .

et faisant passer un plan par cette droite et Taxe des z.

On pourra ensuite prendre pour directrices les deux droites données AM et A' M'.

La droite

intersection des deux plans directeurs, fait connaître la direction de l'axe du paraboloïde,

Noie du Rédacteur. Deux droites étant rencontrées par un faisceau de plans sont coupées homo graphique-

(a67) ment y c'est-à-dire que quatre points quelconques d'intersection sur la première droite donnent le même rapport anharmoniqiie que les quatre points correspondants de la seconde droite^ enjoignant les points d'intersection correspondants par des droites, on obtient les éléments rectilignes d'un hyperboloïde à une nappe; car toutes ces droites rencontrent les droites données et l'arête du faisceau. Lorsque cette arête s'éloigne à l'infini, en d'autres termes, lorsque les plans deviennent parallèles, l'hyperboloïde devient parabolique, et, réciproquement, lorsque deux systèmes de points sont disposés homographiquement sur deux droites, et que trois des quatre droites qui joignent des points correspondants rencontrent une même droite, toutes les droites de jonction sont sur un hyperboloïde à une nappe 5 et si trois droites de jonction sont parallèles à un même plan cet hyperboloïde devient parabolique. Or, dans deux mouvements uniformes rectilignes, les points correspondants sont évidemment en relation homographique, et les droites de jonclion sont parallèles au plan qui projette la position initiale de la droite mobile sur le plan parallèle aux deux directrices ; donc cette droite décrit un paraboloïde hyperbolique.

Remarquons, en passant, qu'une droite qui s'appuie constamment sur trois autres comme directrices, décrit un hyperboloïde à une nappe, excepté lorsque les trois directrices sont parallèles à un même plan; on obtient alors un paraboloïde hyperbolique. Lorsque deux points parcourent d*un mouvement uniforme deux droites dans un même plan, les droites de jonction ont pour enveloppe une ellipse, et les droites données sont parallèles aux diamètres conjugués é^aux de cette ellipse.

MM. Laquières (lycée Saint-Louis), Grolons (institution Verdot) , Lamacq (institution Massin), Rassicod

(.68) {lycée Saint-Louis), Robin (aspirant répétiteur au lycée de Brest), ont résolu la question de la même manière.