FIGURES PLANES

Préliminaires,

4 . Lorsque des points a, b, c, d, . . . , e, f ^e succèdent sur une droite dans un ordre quelconque, on a toujours entre ces points la relation

a/=:rab -i- hc -{- cd. . .-h ef.

On convient de regarder comme positifs les segments dirigés dans un certain sens, et comme négatifs ceux qui sont dirigés dans le sens contraire.

2. Nous étendrons ce principe aux aires des triangles. Si un point mobile parcourt le périmètre d'un triangle, nous regarderons son aire comme positive lorsque le point tournera dans un certain sens , et comme négative lors* qu'il tournera en sens contraire. D'après cela, l«s triangles abc et acb seraient de signes contraires, et l'on vérifiera aisément le théorème suivant :

«Si ron joint un point quelconque o, pris dans le plan d'un triangle abc aux sommets a, b, c, on aura toujours

abc =: abo -f- bco + rao,

d'où l'on déduira celui-ci ;

Si f on joint un point quelconque o, pris dans le plan d'un polygone abcd . . . ef à tous les sommets, on a, pour

( ^77 ) t ex-pression de taire S de ce polygone

S = abo -h hco + cdo , . , efo -\-fao^

car si l'on suppose que cette relation soit vraie pour Taire S' d'un polygone ahcd.^ . e, qui a un sommet de moins, on aura

S' =r aho -H hco H- 'càe ... 4- ea^ ;

mais le triangle efa donne

^a-z^-efo -^-fao '\- aeo\

ajoutant ces deux équations membre à membre et observant que ec^o et aeo se détruisent, on a la relation indî* quée \ donc, etc.

On établira de la même manière ce théorème : Si les côtés successifs A, B, C, . . ., E, F dun polygone sont coupés par une trans\>ersule arbitraire O, on a, pour r expression de Paire S de ce polygone^

S = ABO -I- BCO 4- . . + EFO -hFAO.

Nous indiquons par ABO Taire du triangle formé par les trois droites A, B, O, et de même des autres.

3. Nous rappelons que l'aire S d'un triangle dont les coordonnées des sommets sont (xi,j^i), (xj, /t), (^8,^»), est donnée par la relation

aS:

les axes coordonnés sont rectangulaires, ce que nous supposerons toujours.

Cette relation permet à' exprimer l'aire d'un triangle au moyen des équations des côtés de ce triangle. On y arrive directement comme il suit :

{ =»78 ) Les sommets du triangle étant aux points Uiy a^ iti<, soient

«3X4- /Ijy -hps = o,

les équations des côtés respectivement opposés à ces points, et r,, r^ les distances des sommets a^, a^ aux côtés de Tangle a, . On a pour expression de l'aire S du triangle

2 sin a,

si X et y sont les coordonnées du sommet a^^ oii aura pour déterminer la perpendiculaire r, les trois équalious

/•ï V'wî-f-»^

réliminalion de

x et j^ donne le déterminant

/If, ma

1 P7 — r^\lfn\-\-n\

d^où, en posant

/7Î3 /Zî A'.

W3 «3 pz

et de même

ra==

dpt

sl<

dp^

( ^79 ) on a d'ailleurs

dpx

sin «1 =

d'où

slm\ H- n\ ^/w;+/if

û^Pi ^/'î dpz

nous avons supprimé un double signe.

Comme application de cette formule, on arrive au résultat suivant, que nous énonçons sous forme de lemme :

Lemme. Si par les extrémités a ei b (ïune droite ab on mène deux droites ac, bc respectivement parallèles aux droites imaginaires y = ifc y' — ix, on détermine un triangle imaginc^ire abc, dpnt Faire S s^obtient par la relation