CHAPITRE PREMIER. § P"^. — Homographie
\. Étant donnée une courbe plane F {x\y') = o, si l'on remplace les coordonnées x^ et y' de chaque point par les valeurs
on aura Féquation d'une nouvelle courbe homographique
à la première. Les relations (i) montrent que les deux
courbes seront du même degré.
Si l'on pose
( a8o ) on aura dans la seconde figare une droite que j'appelle l, dont les points correspondront à ceux de la première situés à Titifini,
Les relations (j) résolues par rapport kx et j^ doniieut pour ces quantités des valeurs de même forme que celles de x' et jr^] elles ont pour dénominateur commun le déterminaiit
De sorte que si l'on égale ce déterminant à zéro, la droite I', que Ton aura ainsi dans la première figure, correspondra à r infini de la seconde.
Dans la suite de ce Mémoire, nous ne supposerons connues aucunes des propriétés des figures Homographiques, elles se déduiront de nos relations métriques. Nous indiquerons seulement le théorème suivant de la géométrie supérieure.
2. Deux figures homo graphiques étant placées d'une manière quelconque ^ il existe^ en général j trois points qui y considérés con^me appartenant à (a première figure^ sont eux-mêmes leurs homologues dans la seconde. Deux de ces points peuvent être imaginaires y mais le troisième est toujours réel.
En effet, d'après les relations (i), pour que le point x' ^ y' coïncide avec son correspondant or, y^ on doit avoir
X [a" x-j- b'^ y -hc'^) = ax -|- ^^ 4- c, y {a"x -H h'^ y -+- c") = a' x -+- h' y 4- c\
de sorte que les points cherchés sont les intersections des deux hyperboles représentées par ces équations. Si \'on remarque qu'elles ont chacune une asymptote parallèle à
( ^8. ) la droite I, on pourra les considérer comme ayant un point d'intersection à l^infini sur cette droite, par conséquent les trois autres seront , en général , à distance finie, et l'un d'eux sera nécessairement réel. Ces points sont nommés points doubles,
3. Notation. Les points d'une figure étant désignés par les lettres accentuées a\ i', c', etc., les points correspondants de la figure homographique seront indiqués par les mêmes lettres a, i, c, etc., dépourvues d'accents ; les lettres grecques correspondantes a, (3, y, etc., exprimeront les distances des points a, i, c. . . à une droite fixe I. Les lettres A', B', C... désignant des droites d'une figure. A, B, C. . . seront les droites correspondantes de la figure homographique.
L'angle de deux droites A et B sera désigné par la notation ordinaire (A, B).
La suite prochainement.
