QUESTIONS PROPOSÉES AUX EXAMENS
Dans le premier volume des Noiii^elles Annales (page i5i), M. Roguet a établi de huit manières différentes la condition de réalité des trois racines de l'équation
L'une des méthodes suivies est fondée sur les relations qui existent entre les coefficients et les racines d'une équation algébrique. En admettant ces relations^ on peut arriver à la condition de la réalité des trois racines, par un calcul qui me semble différer assez de celui dont l'auteur a fait usage, pour que je l'indique ici.
Je suppose que le dernier terme, -H q^i de l 'équation soit positif^ ce qui est permis, car s'il était négatif, en changeant le signe des racines de l'équation on changerait le sigqe de son dernier terme, et les conditions de la réalité des trois racines resteraient, évidemment, les mêmes.
Dans ce cas, le produit des trois racines est négatif, ei leur $dmme est nulle ^ donc, si les trois racines sont réelles, deux de ces racines seront positives, et la troisième négative.
Je nomme a la plus petite des deux racines positives ; b la plus grande , c la racine négative : il en résulte
et
ab -{- [a -\- b) c zsz p \ d'où
{2) a'-h^' + fl6 = — /?. . . .
On voit que p doit être négatif.
Si dans l'égalité (2), a' -H fc* -h a6 = — p, on remplace b par a qui est moindre que J, on aura
Et, en remplaçant dans la même égalité (a) a par 6, il s'ensuivra
Par conséquent, la racine a e^% comprise seule entre 0
Or, la substitution de o à 4', dans x^ -hpx-hg donn^ le résultat positif 4- 9,- donc le résultat de la substitution
de i / — ^ k X doit être négatif. Ce qui donne la condition 4p* -H 27 <7' < o.
Réciproquement, si cette dernière inégalité a lieu, l'équation admettra une racine positive comprise entre o
et i / — ^^ et comme elle a nécessairement une racine négative, ses trois racines seront réelles. G.
OHBSTION VUkMH (B€OLE RAVALE).
Troui^er la limite du produit cosa . cos - • cos -= • cos ô* • • • ' 2 4"
Euler a résolu la question; il ne Faurait pas proposée clans les examens d'admissibilité à l'Ecole Navale. On a
sin 2a =* 2 . sin a . cos a,
sm
sm fl = 2 . sin ( - j • cos ( - 1 »
sin ( ; ) = 2 . sin f — I • cos ( — | •
Va"-'/ \2V . \2V
La multiplication de ces équations donne sin2À= 2""^' sin { — | X cos «.cos (-) cosl — | . . .cos ( — ]»
d'où cos
(a\ I a\ [ u \ sin 2 fl
mais
sm 2
(sin 2a\ /sin 2«\
2 fl / \ 2<l /
'.sin [ — ) 2"+' sin ( — j
sin. ~
sm-
Quand n augmente indéfiniment, la fraction -. — r
[^\ I moindre que l'unité augmente aussi , et tend vers Funité. ! A la limite (/i = oo ) on a
sm —
Donc la limite
du prodi
fa m t cos a . cos ( -
sin 2a
la
Supposons
il en résultera
- ; stn 2 a == I
<»t par suite
lim.co5(|).ros(^)cos(^)... = ^,
cos (l) cos (^) cos (iL) . . .
(TOfr p. 185);
Pae m. j. grouvelle,
Élève du lycée Louis-le-Grand (daese de M. Vieille).
Trouver le lieu des centres des cercles inscrits aux triangles ayant pour sommet Fun oes foyers d'une conique et pour base une corde passant par l'autre foyer. Le centre est sur la parallèle à Taxe focal menée par le milieu de la corde.
1. Ellipse. Soit AB une corde passant par le foyer P. En menant par le milieu I de cette corde une parallèle k Taxe focal, on aura une droite qui contiendra le centre du cercle inscrit au triangle ABF'.
En effet , les tangentes BC et AC aux extrémités de la corde AB viennent concourir en C sur la directrice MN, et, de plus, ces tangentes étant bissectrices des angles MAF, NBF, le point C est donc également distant de F' A, PB et, par conséquent, la droite F' C est bissectrice de Tangle AF' B. Donc fe centre du cercle inscrit se trouve sur cette droite en un point O' par exemple^
( 286 ) Abaissons les perpendiculaires O'P et O'D sur les côtés F'A et AB. Prolongeons O' D jusqu'à sa rencontre eu E avec Taxe focal. Les quadrilatères F' EO' P, F' FCQ sont semblables ; or
CF=rCQ, donc
(yE=rO'P = 0'D;
ainsi O' est le milieu de DE. Le point D est le point de contact du cercle inscrit au triangle F'AB, et^ d'après une propriété connue, FC est perpendiculaire sur AB. Il eft résulte que le point F est le point de contact du cercle ex-inscrit au triangle ABF', et que l'on a
