AD = BF
Le diamètre OC conjugué à la corde AB la divise en I parties égales*, donc I est le milieu de DF, et O' étant le milieu de DE , il s'ensuit que la droite O' I est parallèle à Taxe focal.
Prenons pour axes de coordonnées ceux de T ellipse.
La droite F' C a pour équation
Les coordonnées du point C , pôle de AB , sont donc
Ainsi le lieu du cercle ex-inscrit qui louche la corde mobile est la directrice.
La polaire AB aura donc pour équation
Le point I, milieu de AB, se trouve sur le diamètre OC
( ^87) dont Téquation est
y = ~- mx.
Eliminant x entre les équations de OC et de AB, ou trouve pour ordonnée du point I
Telle est Tordonnée du point I, et, par conséquent, Téquation de la parallèle O'I à l'axe de l'ellipse.
Or, d'après ce qui a été démontré plus haut, cette droite contient le centre du cercle inscrit. D'ailleurs la droite F'C le contient aussi. Donc pour avoir Téqualion du lieu, il suffit d'éliminer l'indéterminée m entre l'équation de O' I et celle de F'C.
Exécutant cette opération , on trouve
j5 ( «> -^. c^Y -j- a^ b^ x^ -h b^ ex — ^2 6*< = o,
équation qui représente une ellipse doht un des axes est Taxe des x et l'autre parallèle à l'axe des j^. Sous la première forme, on voit à priori que l'équation du lieu est vérifiée pour
j = a et X =. — Cj
c'est-à-dire que le point F' est un point du lieu. La construction ne présente aucune difficulté.
2. Hyperbole r II suffit de changer -f- fc* en — è* ; ainsi le lieu cherché est une hyperbole.
3. Parabole, Transportons l'origine au sommet e» changeant x enx-^- a.
L'équation était
(«' 4- c')' y^ -h «» b^ x^ ^b'ex -- b^ c' = o-,
( a88 ) elle devient, après le transport de Torigine,
(flî-f. c^y y^ 4- û'^'jr»H- ^a^ b^x-ha* b- -f- b^ ex -\- ach* — 6»c* = o.
Diyisant les deux membres par «*, il vient
l^assant aulc limites , on obtient
parabole dont le sommet a pour abscisse ^ et dont le
P paramètre est — y»
M. L. G. (de Liège) fait observer : i*^ que la droite (XI rencontre CF en un point N point de rencontre des trois hauteurs du triangle CAB; 2^ que les trois points O'^ I,N décrivent des ellipses ayant des petits axes égaux.
QUADRATURES PAR APPROXIMilTIO!« ;
Par m. J.-Ch. DUPAm,
Professeur-agrégé, ancien élève de TÉcole Normale.
Nous nous proposons de comparer diverses méthodes employées pour la quadrature approchée des courbes. Nous représenterons par
{ ^89 ) Féquâtion connue ou non de la courbe et par h Tinlervalle constant des ordonnées dont le nombre toujours impair sera désigné par « -h i ; nous prendrons enfin la première ordonnée sur Taxe de y et nous remarquerons que les ordonnées successives ont pour expression
y(o),/(A),/(s^A),...,/(/iA).
Par les extrémités des ordonnées de rang pair, nous menons des tangentes jusqu'à la rencontre des ordonnées de rang impair, prolongées s'il le faut, et nous obtenons une sorte de polygone circonscrit, à angles rentrants, ayant pour mesure
(l) k=z7.hSp\
le signe Sp indique la somme des ordonnées de rang pair. On peut ensuite , avec Simpson , joindre les extrémités des ordonnées de rang impair et former un polygone inscrit \ mais il est préférable, comme le remarque M. Piobert [Noui^elles Annales^ t. XIII, p. 327), déconsidérer un polygone ayant pour sommets les extrémités de la première ordonnée , de la dernière et de toutes celles de rang pair. Ce polygone a pour mesure
(a) B = AJ.S, + ^("^-^^^''^)--^W-^t(^-')^Jj.
Comme on ne suppose aucune inflexion dans les limites de la quadrature , Taire M de la courbe est évidemment une moyenne entre celle des polygones A et B :
