M = BH

Il existe pour chaque courbe en particulier une valeur de R qui donnerait l'aire exacte, mais on ne la connaît pas, et la question est ordinairement d'en trouver à priori

Ann, de Maihcmat., t. XVll. (Août 1^58.) 19

( ^90 ) une valeur générale assez simple et conyenant d'une manière assez approchée à toute espèce de courbes. IVL Piobert, dans le Mémoire déjà cité, a calculé une Table de valeurs de R pour des courbes de diverses amplitudes; mais, en admettant la légitimité de son point de départ, remploi de la Table exige la connaissance de Tangle formé par les cordes et les tangentes , opération toujours bien délicate, qui devient impossible si la courbe n^est pas tracée. Aussi le savant académicien propose de prendre

une moyenne entre les nombres de sa Table et indique

une formule développée dans le seul cas où R = —

M. Parmentier a obtenu la même formule par des raisonnements tout différents [Nouvelles Annales^ t. XIV, p. 370)^ avec nos notations, nous écrirons

(4) >^jaS,+ ^^'^)+^W-^^^')-^Kx-.)AJj.

Antérieurement M. Poncelet avait pris R = 2 , ce qui lui donnait

(5) >ij.S,-H^^°)+^<"^)-^^(^)--^t(^-'>^J}.

Vers la fin du dernier siècle, Simpson avait fait aussi R = - -, mais, ainsi qu'il a été dit plus haut, il construisait différemment le polygone inscrit et obtenait

qui est la somme de la première et de la dernière ordonnées , S, la somme des autres ordonnées de rang impair.

Nous trouvons enfin dans les Nouvelles Annales (t. X,

p. 4iS ) une formule de M. Catalan :

(s-|[/(o)4-/(/iA)H.g{/(A)-f/[(«-i)A]|) (7) A

Lorsqu'on a seulement, pour mesurer une courbe, la connaissance des ordonnées, il règne une telle indétermination, que je crois impossible d'affirmer à priori que telle ou telle formule l'emportera toujours sur les autres par l'exactitude. Je vais donc faire une hypotbèse particulière.

J'admets que l'ordonnée de la courbe puisse se développer en une série rapidement convergente

C'est supposer implicitement , comme on le fait dans l'interpolation, que la courbe est parabolique, et, de plus, que la différence des dernières ordonnées aux premières n'est pas excessive; nous admettons aussi qu'il n'y ait pas de tangente parallèle aux ^, circonstance qui ne peut se présenter dans les paraboles dont nous parlons.

Notre hypothèse comprend encore les hyperboles ayant pour type

pourvu que - reste très-petit.

L'intégration de la série (8) entre o et nh nous don-

( ^92 ) nera

Si nous calculons par réquation (8) les ordonnées équidistantes et que nous portions les valeurs ainsi obtenues dans les formules (i), (2), (4), (5) , (6), (7), chacune d'elles reproduira le développement (9) accru de certaines erreurs indiquées dans le tableau suivant :

Polygone cireonscrit.

Polygone inscrit,

M» Poncelet»

(îZli)v/.(o,+ (=l^)*./.,o,+....

MM, Piobert et Parmentier.

-gA'/"(o)--^A*/«'(o) + ....

Simpson.

M. Catalan,

Effectuons les mêmes substitutions dans rexprcssion (3)

(^93) et déterminons R de manière à faire disparaître les termes en A' qui se trouvent dans le développement de l'erreur, il arrive que les termes en A* disparaissent aussi. Il faut pour cela poser

iX = r^

ce qui donne la formule noui^elle

3/1-3 ou

J^g^ , r/(o)+/(/»A)-/(^)-/[(/i-i)A]-| n I qui est en erreur de

Cette formule nouvelle , celles de Simpson et de M. Catalan donnent à peu près la même approximation , puisque, pour toutes les trois. Terreur ne commence qu'au terme en y *^ (o) qui dans notre hypothèse est très-petit. Elles sont donc préférables, sous le rapport de l'exactitude, aux quatre premières, mais la formule de M. Catalan est moins simple que celle de Simpson, qui ellemême exige l'emploi de plus d'ordonnées que la nôtre.

Pour comparer les erreurs des quatre autres formules, je m'arrêterai aux premiers termes qui, dans noire hypothèse, sont prépondérants, et, au point de vue de l'exactitude , j'établirai l'ordre suivant : MM. Piobert et Parmentier, M. Poncelet, polygone circonscrit , polygone inscrit.

Mais l'exactitude n'est pas la qualité la plus essentielle ; tous les praticiens que j'ai consultés m'ont avoué que la

( ^94 ) méthode des ti^apè^s leur suffisait, et, pour ma part, je préférerais à toutes les autres la règle de M. Poncelet, à laquelle nous n'avons donné que le cinquième rang, mais qui , à nos yeux , a le grand mérite de faire connaître une

limite toujours certaine de l'erreur •

Nous avons examiné jusqu'ici un cas fai^orable; il pourrait arriver que des tangentes fussent parallèles auxy ou que les ordonnées prissent de rapides accroissements ; il faudrait alors ou changer les axes, ce qui suppose la courbe tracée, ou multiplier les ordonnées, et si ces moyens sont impraticables , on se résignera à une faible approximation que la formule de M. Poncelet fera toujours connaître.

Il semble au premier abord que Tindétermination serait moins grande si l'on savait tracer les tangentes; mais , en y réfléchissant, on reconnaît qu'il existe une infinité de courbes qui touchent deux droites données en deux points donnés.

On pourrait cependant mener aux extrémités de toutes les ordonnées des tangentes qui par leurs intersections mutuelles formeraient un polygone réellement circonscrit C ; on joindrait les extrémités des ordonnées consécutives pour former un second polygone inscrit I, et il s'agirait toujours de prendre une moyenne