ABD
d=o V ABC.
( 299 ) Désignons par a^ , b^ ce que deviennent aetb lorsqu'on y remplace x, y^ ^ respectivement par les coordonnées jTj , ^5 , Zs du point E , et ainsi des autres ; on obtient pour
réquation du plan GDE ab^ — ba^ = o ,
» CDF abs — bae = Oj
» ABE cdi — dc^ =o,
» ABF cJj — dcg =z o.
Le faisceau de surfaces donné par l'équation
(abi — boi) {cde — dc^) — K{abe — ô«j)(c^4 dc^) =2 o,
où K est une indéterminée, passe par les six points A,B,C,D,E,F, ce qu'on peut écrire d'une manière abrégée
{ab,){cd,)--K{ab,){cd,) = o.
Déterminons K de manière qu'une des surfaces du faisceau passe par le septième point G (a:^,y,, js,); alors il vient
Kz=z(aô,)(cds){a,b,){e,d,)^(abe)(cds){a,bs)(c,de)=zo,
Les parenthèses sont des binômes alternés et R = o est une des surfaces qui passent par les sept points A, B, C, D, E, F, G, et cette surface est réglée; car les deux droites AB, CD, arêtes opposées du tétatrèdre ABCD, sont entièrement sur cette surface.
Par ces mêmes sept points , on peut faire passer une seconde surface réglée S renfermant les deux droites AD, CB; pour avoir S, il suffit de changer dans R 6 en ^ et rf en A ; on obtient
S = (ad,) (cb,) (a, d,) (c, b,) - (ad,) (cb,) {a, d,) (c, be) = o.
Enfin par ces mêmes points on peut faire passer une troisième surface réglée I renfermant les deux droites
( 3oo ) AC, BD^ il suffit de changer dans R , & en c et c en £*, on a
l={ac,)(bde)(a,c,){b,d,)-^(ace){bd,)(a,c,){b,d,)', la surface du deuxième degré donnée par l'équation
passe évidemment par les sept points A,B,C,D,E5 F , G 5 et en général n'est plus réglée et les deux indéterminées p eiç peuvent servir à faire passer la surface par les deux points restants H et 1 5 désignant par Rg , Sg , T»; R9, S9, T9 ce que deviennent respectivement R,S, Ten remplaçant a:, j^, z successivement par OTgjj^gn ^s 7 ^95 /s? ^9 on a
/? R9 4- ^ S» = Ta ,
d'où Ton tire
(R.S.) = iïî^)-(-^'^^)
ainsi l'équation de la surface qui passe par les neufs points donnés sera
( 1 ) (T» Sa) R H- (R« Ta) S -h (Sa R.) T = o,
R renferme 32 termes ^ (Tg S9) renferme 2 . Sa* termes, ainsi (Tg S9) R contient 2. 3 2' termes, et l'équation (i) contient en général 6.32^=196608 termes; c'est le nombre en considérant a, fe, c , û? comme des monômes; mais chacun renferme vingt-quatre termes exprimés en fonction des coordonnées 5 ainsi le nombre des termes de l'équation en fonction des vingt-sept coordonnées est 3**. a** termes = 7, 1805264,989,898,998,898,989, nombre composé de vingt-deux chiffres, mais dans les calculs numériques le nombre de termes se réduit considérablement.
3. Si Xi, 5^1,^1, sont les coordonnées d'un dixième point situé sur la même surface, et si Ton désigne par
(3o, ) R,o , S, 0 5 T,o , ce que deviennent R , S , T en y remplaçant a:,/, z par a:io)J"io5 ^lOî on a la relation suivante entre les coordonnées de dix points situés sur la surface
(T8S9)R,oH-(R8T9)S»o-f-(S9R8)T.o = o, T-«> A9) fi«
Rg, Rg» Rio
INVARIANTS;
Par m. de RLERZY,
Directeur des lignes télégraphiques à la Rochelle.
i. On lit, page 200 de la Théorie des déterminants ^ du D^ Brioschi (traduction Combescure) que les invariants (p d'une fonction
doivent vérifier les équations diflérenti elles
et
do
La seconde de ces équations différentielles par sa texture et par son mode de formation est symétrique de la première par rapport à (a,- , «„«,) , c'est-à-dire qu'elle se déduit de la première par la substitution de a„i à a, , pourvu que ç soit symétrique. La condition de symétrie mise à l'équation (2) suffit donc pour caractériser les invariants.
Le savant traducteur de l'ouvrage cité ajoute :
« M. Cayley a prouvé quune seule équation différentielle jointe à la condition à^ homogénéité peut rempla^ cer les deux équations dont il s'agit. » Cette homogénéité doit probablement s'étendre tant aux indices qu'aux exposants.
