Une fonction paire ftm a un invariant du 2* degré qui est

(4) l2« = ««û,«,--2w.a,û,«„,H i -ûî«j«-2— ..» !

1 ayw...(/wH-i)^,

I,,„ est symétrique et satisfait Téquation ( 2 ) ; la vérification est facile. \

3. Une fonction impaire yi^+i a un invariant 4^ degré ! qui est

\tm étant l'invariant du 2* degré de !,„ étant l'invariant du 2* degré de

/»« («1 , ûj , . . . , «ïm+. ) (^, j)"".

On peut écrire cet invariant sous la forme suivante :

où oLi se déduit de a,i par la formule

ia/=(2m-— i + 2)a,, — 2. i -^ — S

et a, = im — i.

n Km c'est 9' Tm.

( 3o3 ) Ifm+i est symétrique sous les deux formes que nous venons de lui donner, et la vérification de l'équation différentielle (2) s'en fait aisément en ayant égard à

4« La fonction paire fi^ a un invariant du degré m + I qui est

(à démontrer).

5. Il serait bon que les invariants fussent toujours écrits d'une manière uniforme, par exemple, sous la forme que leur donnent les formules ci-dessus 1 En employant la notation habituelle (*), on a, pour le 2® degré

la = ac — O^ ou la =r

pour le 3® degré ,

I3 = («£/ -« bcy — 4 (flc — b')i

pour le 4* degré,

l^zz: ae^^bd -h 3c\ et

abc 14=: bcd ^=z ace -i- Oi bcd — b^e — ad'c^; c d e pour le 5® degré , Is=(fl/'~ 3 be -^ iicdy— ^{ac — 4 bd-\-Zc^) [bf -^ ^ce-frZd").

(*) Alors on remplace a^ par a, «j par ft, a, parc, ff, par d, etc. Tu.

( 3o4 ) Les équations didférenli elles de condition sont, pour le 5* degré,

dl .dl . dl . dl ^ dl ''db^^^Tc'^^'Td'^^''Te^^'df=''^ et

^^dl , dl ^dl dl ^dl

^^Ta'^^'dh^^''Tc-^^''Td'^^Te = '''

En vérifiant , au moyen de ces équations , l'invariant I5 que nous venons d'écrire^ on verra clairement que la condition de symétrie peut être substituée à lune d'elles.

Note du Rédacteur.

Premier exemple. Soit n = 4 ; par conséquent m = 2. On a

/ = a, ^* 4- 4«2 ^r -^ 6^3 ^'j^' + ^a^ xy^ -|- a^/.

Premier invariant.

y =l4=floûf4— 4^«û'3+6aî — 3«2=flo«4-~4^«^'3+3a..

L'équation (2) développée est

/ \ dfù do da , da

rffl, da^ da^ ^ dOi

dtf , d(f d(f dto

faisant les substitutions, l'équation (2) se vérifie. Deuxième in\^ariant,

ç = I4 = éïo «3 û'< -f- 2<7, «2 «3 — «î fl« — «0 «j— «î> dro d(û ,

( 3o5 ) les substitutions vérifient l'équation (2).

Deuxième exemple :

I, = û, flj-— aj ; I',= «, «3 — flj ;

cest l'équation (5) développée

dU dh dh

—-. = «2; -— =: — an,; --—=«0.

^Otflfo o^i da^

Substituant, on trouve

I3 r= («0 flg— «2 «0* — 4 (^0 ûa— '«î) (^« '»3 — «î) = ?>

L'équation (2) développée est

do dtp ^ep

ao-r- -h 2a^ -^ -h 3a^-T^ =0.

aai a^s ^^3

Faisant les substitutions, elle se vérifie de même pour Ig.