QUESTION D EXAMEN
(Mnissibilité à rÉcole Navale).
Sachant que le ^volume d'un segment sphén'que à une base est une fonction entière du troisième degré de la hauteur du segment , déterminer cette fonction.
Soient h la hauteur du segment et r le rayon de la
Ann. de Mathématiques, t. XVU. (Août i858.) 20
( 3o6 ) sphère. Quand /i=: o> le volume du segment est buI; donc, la fonction cherchée est de la forme AA*-f- BA*-H Ch -, c'est-à-dire qu'elle ne renferme aucun terme indépendant de A. Il est de plus à remarquer que le coefficient C de la première puissance de h ne peut être négatif, car, en donnant à h une valeur positive suffisamment petite, le signe de A A' -h BA* -j- Ch est le même que celui de C.
Cela posé, considérons un cylindre ayaqt même base et même hauteur que le segi^ent, soq volumç aura pour expression aîrrA' — tt A*. Et, comme le segment est entièrement contenu dans l'intérieur du cylindre, il en résulte l'inégalité
A A* -h B A» -h C/i < 27r r^' — TT /i%
d'où
C<27rrA— .irA^ — A^'— BA.
Si Ton figiit converger h vers zéro , le second, membre de cette inégalité devient moindre que toute quantité positive donnée, donc C = o.
Pour déterminer les valeurs de A et B, on remarquera qu'en remplaçant successiven^ept k par r et ar, le volume
du â^çgment prend les valeurs; ^tt'^, i^'^; 4e sorte
qu'on a
A/^ + Br'rx^nr^, et 8Ar?-h 4Br2=Î7rr»,
OU
A/4-B=^irr et 2Ar-hB=-^-
Ces dernières équations donnent
A = --^, B = trr.
(3o7) Par conséquent, la fonction cherchée est
nrh^-^^nhK
Note. Cette question a été , il y a quelques années, adressée plusieurs fois par M. Comte à des candidats pour Tadmission à TÉcole Polytechnique, aucun d'eux ne Ta résolue (*). Il n'existait alors aucun Programme officiel; les questions de fantaisie avaient un libre cours. Je crois qu'elles n'ont jamais servi a éclairer le jugement de MM. les Examinateurs sur l'intelligence et Tinstruclion des candidats qu'ils ont examinés. Je reviendrai sur ce sujet. G.
FORMULES FONDAMENTALES DE L'ANALYSE SPHERIQUE
(ToJr ptje i*8); Par m. VANNSON.
Théorème. Si au centre d'une ellipse on fait un angle droit et qu^on prolonge ses cotés jusqu^à la rencontre du cercle principal aux points A et B, qu^on projette les points A ef B sur Taxe commun, au moyen des arcs AP, BQ coupant V ellipse en A', B', qu^on trace les arcs OA', OB', on aura construit un système de diamètres conjugués,
Eq effet, nommons a, a' les angles de OA', OB' avec Taxe-, a/, y les tangentes des coordonnées de A'^ a/', y" celles de B', nous aurons
taffgûttanga'rrr^-^-,
{*) La solution qu'on a voulu déduire de la détermination du maximum el du minimum d'une fonction continue n'est pas rigoureuse.
( 3o8 ) mais si on appelle Y' , Y" les tangentes des coordonnées de A, B, on aura
donc
tanga.tang«=«.^.^ = --. c. Q. r. d.
Corollaire. Dans le trîangle rectangle AOP on a
x' = a cos AOP, et de même
a"= — «sinAOP, donc
< H- ^l = û' ; on verra de la même manière que
Ajoutant ces égalités membre à membre , on a la relation
2^. Si on appelle <f l'angle OAP, on voit sur la figure qu on a
a' cos a = « cos y ;
de même, en construisant le cercle principal sur le second axe, on aura
b' sin a z=: b cos f ;
en multipliant ces égalités membre à membre, on a
«' b^ sin a' cos ol=: ab cos' ç,
on trouve de même
a' b' sin a cos a'= — ab sin' y ;
d'où par soustraction
a' 5' sin (a' — a) = ^^*
(3o9) 3^ L égalité
peut s'énoncer ainsi :
La somme des tangentes carrées des projections de deux demi-diamètres conjugués sur un des axes égale la tangente carrée de la moitié de cet axe ; enfin on a la relation
«' cos^ ff-i-b^ sin* ç = a/ ,
c'est-à-dire que la somme des tangentes carrées des projections des deux axes sur un diamètre égaie la tangente carrée de la moitié de ce même diamètre.
Ces relations donnent la solution d'un grand nombre de problèmes relatifs à Tellipse sphérique ; nous nous bornerons aux principaux.
1. Connaissant deux diamètres conjugués «', 6' et leur angle 0, trouver la grandeur des axes. On trouve
aH-^=y/£ï»-h6*— .2«'^'sin9, a— b = \Ja^-{-b^-h2a' b' sinQ.
Si on se reporte à Téquation d'un petit cercle en coordonnées obliques^ on est conduit à la construction suivante : Soient
OA=a', OB=:ê',
et Tangle 0 = 6. Faisons au point O l'angle droit AOC
FiG. I.
{ 3.0 ) et prenons
OC = OA, prenons aussi Tare
OBD = - et 0CF=-5
joignons C, D el F, B, soit M la rencontre..., tang OM
* représentera a -f- i 5 prenons ensuite OB' = OB, joignons
F à B', et soit N ]a rencontre des arcs FB' et DC 5 on aura
tang ON =r « — 9 , d'où on tire
Ung OM H- tang ON , tang OM — tang ON
expressions que nous avons déjà construites.
Pour trouver la direction des axes, nous avons les relations
ol' — a =6 et tang a tang a' = -\
si nous nommons S le supplément de a\ nous aurons
a + ê = 7r — e et tang a tang 6 = — ^
le problème revient donc à partager un arc donné tt — ^ en deux segments tels, que le produit de leurs tangentes
égale ~ (question déjà résolue géométriquement).
Connaissant trois des six quantités âi, i, a', b\ a, a', on propose de trouver les trois autres.
Problème I. On donne a, b, a , trousser sl^ b', a'. Soient
OA = fl , OB = ^ et MOA = a ;
cela revient à trouver l'intersection de F ellipse, sans la construire , avec le cercle OM.
(3.1) Pour cela, j'élète AM perpendiculaire à OÀ, et je
FiG. 3.
prends AM' tel, qu'on ait
tang AM' tang a
tângAM ~" tang b ^
je trace l'arc OlVl'^ soit P sa rencontre avec le cercle principal 5 menons l'ordonnée PH ^ le point K où elle coupe OM sera évidemment rextrémité de a'. Construisons Tangle droit POL, prolongeons Tare SL jusqu'en X, tirons BX; la rencontre de cet arc avec l'ordonnée LN sera 1 extrémité du diamètre b\
Remarque. Le procédé que nous venons d'employer pour construire la fencotitrô d'tin grand cercle OM avec une ellipse non construite, mais dont on a les axes, s'applique à une position quelconque du cercle sécant, en sorte qu'un problème peut être regardé comme résolu graphiquement si on le ramène à trouver l'intersection d'un grand cercle et d'une ellipse dont on a les axes en grandeur et en direction.
Problème II. On donne a, b, a', trouv^er les trois antres quantités,
FiG. 3.
Considérons ces trois nombres donnés comme des tangentes, et soient x'jj^' les tangentes des coordonnées de Textréniité du diamètre donné -, on a
x' zrz. a! cosa , y* = a' sifl a.
Portant ces valeurs dans Téquation de la courbe, on a
