OC
et que nous menions Tare CA , il sera tangent à Tellipse
FiG. 5.
proposée. Donc appelant a la tangente de l'axe suivant ON, on aura
£|2 = UngON tangOP,
ce qui permet de trouver géométriquement la grandeur de l'axe DD'. Le reste se trouve par des moyens déjà exposés.
Nous n'examinerons pas ici les autres cas qui se résolvent par des constructions analogues aux précédentes.
Si l'on pread pour axes de coordonnées un système de
( 3«4 ) diamètres conjugués, il est évident que réquation conservera la même forme. On peat donc rapporter la courbe à deux diamètres par la transformation des coordonnées ; le calcul se fait comme pour les courbes planes.
QUESTIONS D EXAMEN (AMssiMIité i l'École Polytediu^se).
I. Lorsque V équation générale du second degré à trois variables
. . i ax^-h a!y^ -h a"z^ -f- 2 6jr« -4- 2 h'xz H- 2 h"xj \ -#-2cx -H2c'^-|-2c"z4-//= G,
représente un cylindre parabolique y la fonction homogène
ax* -h ay* -h a" «* -H a byz -H 2 b'xz 4- 2 b'^xf
formée des termes du second degré est un carré exact. En eflet, lorsque l'équation (i) représente un cylindre parabolique, on a (page 287)
b'b" , bb'' „ bb'
En remplaçant a, a', a" par ces valeurs dans la fonction, ax^-\- a' y"^ -\- az^ -|- 2 byz -h 2 b'xz -h 2 ^"x/,
elle devient
A'A'' bb" , bb' , ., .,,
OU
C'est ce qu'il fallait démontrer.
En supposant toujours que Téqualion (i) représente un cylindre parabolique, on voit, d'après ce qui précède, que cette équation revient à
Elle résulte évidemment de l'élimination d'une indéterminée (X , entre les équations
^ ^ rL ^^ — -r- ff
,,,,„ ( 2ca: 4- ac/j: -h 2 c"z -h fl? J = — a*.
Ces deux dernières équations représentent , par conséquent, les génératrices rectilignes du cylindre parabolique. Ces génératrices sont parallèles à la droite
t-H^-Ht7 = o, 2cx4-ac>-h 2c"2 + £/ = o.
La suite prochainement.
mmm u la euBSTioN sh
(voir t. XV, p. Ï7);
Par J.^h. DUPAIN.
Construire la courbe à équation polaire
( 3.6 ) La forme générale se reconnaît assez bien au moyen de l'équation ; mais il est plus commode pour certains détails de prendre les coordonnées rectangulaires
En suivant les méthodes ordinaires de discussion , on arrive aux résultats suivants :
Il est inutile de tenir compte des valeurs négatives de jo pourvu que y varie de o*^ à 36o degrés.
La courbe est symétrique par rapport aux axes coordonnés; il suffît donc d'en étudier le quart.
Il y a cinq cas principaux à distinguer :
I**. c' <^ I . La courbe est fermée; elle présente l'aspect d'une ellipse dont le petit axe serait dirigé suivant l'axe polaire. Le plus petit rayon vecteur est l'unité, le plus
grand >
2°. c*= I. On peut écrire
ycos^ Taspect de la courbe est celui d'une branche de conchoïde (p = h^lqui serait répétée symétriquement par
rapport à sa directrice lp = ) • L'axe des jr est une
asymptote commune aux branches de la courbe; il y a quatre inflexions.
3®. 2^c*^ i. Il y a deux asymptotes ayant pour équations
sm « = 31 - ou r = »
L'ordonnée positive de la courbe est plus petite que celle
(3'7) de Tasymptote. L'aogle asymptotiquc qui renferme chaque branche de courbe est obtus.
y commence à être réel quand
et alors
la ^angente est parallèle aux ordonnées. Quand x augmente, y prend quatre valeurs égales deux à deux, sauf le signe , jusqu'à ce que j: = 1 5 y n'a plus que trois valeurs
*\/^'. »• -\It.
Le point (1,0) est un sommet de la courbe. L'ordonnée n'a plus ensuite que deux valeurs de signes contraires, et la courbe se rapproche de ses asymptotes. Il y a dans le voisinage du sommet une inflexion pour chaque quart de la courbe dont Taspect est celui des branches infinies de la courbe du Diable [y^ — x* — 96 «'j^'-l- 100 a'x' = o) étudiée par Lacroix dans ses Éléments de calcul diffé" rentiel, et par MM. Briot et Bouquet (Géométrie analytique^ 2* édition, p. 197).
4^. c' = 2. L'équation se simplifie et peut s'écrire
^cos 2 <]
La courbe a le même aspect que l'hyperbole équilatère (/* — x^ = — i) qui a mêmes asymptotes qu'elles, mêmes sommets et mêmes tangentes aux sommets.
5®. c']> 2. L'aspect général de la courbe est encore celui d'une hyperbole ayant les mêmes asymptotes, mêmes
( 3i8 ) sommets, mêmes tangentes aux sommets. L'angle des asymptotes est aigu.
L'aire de la courbe est une fonction elliptique de première espèce
- I -p====L==:==-F c,(pj.
^Jo v^i-c^sin^y 2
La différentielle développée donne une série convergente lorsque csinç^i,
L'intégrale générale n'est pas simple; mais on peut remarquer que
et, par suite,
Cette série n'est convergente que si c est inférieur à l'unité.
J}/ote du Rédacteur, Il est urgent de diriger T attention des élèves sur cette courbe , une des plus importantes de l'époque actuelle, d'après l'emploi de son aire dans les sciences physiques. Nous en dirons autant de la courbe gamma.
(TOir p. 82);
Par m. BARDIN,
Élève de l'Ecole secondaire de Tournas (classe de M. Andanson\
(Kepler, Astronomia nova. )
La résolution des triangles ABC, ACD (trigonométrie) nous donne les angles ABC que je nomme B, ACB, ACD dont je nomme la somme C, et les côtés BC que j'appelle fc, CD que j'appelle c. Je les considère comme déjà connus. Je nommerai r chacun des rayons ég9ux OB, OC, OD, o l'angle AOB, e l'excentricité AO, à trouver. Je prendrai pour inconnues auxiliaires, y l'angle OCD formé par le rayon OC et le côté CD, £ Tangle ABO formé par le rayon OB et le côté AB.
Cela posé, remarquons que
- = rcos.(c — 7) =:r(cos.Cco8.7 4- sinCsiny),
et
- = / cos 7,
