QUI CONDUIT A CELLE DR LA QUESTION

(TOlr t. XV. p 897);

Pae M. P. DE FOVILLE, É)èT6 d€ l'Éeole préparatoire des Carmes (classe de M. Gerono).

1°. Discuter la courbe représentée par r équation

(i) >-^ riB[{»ii-rhi)aresin«] 4-i.

a**. Démontrer que si 9 (x) est une Jonction impaire qui na pas plus de un — i racines comprises entre -H i et"^!^ la courbe représentée par l ^équation

rencontre la courbe {i) ^u moins en un point dontVabscisse est comprise entre 4* i et — i .

3^. Déduire de ce qui précède la démonstration du théorème de M. Tchebychew (question 347, ^* ^^^ P* ^S?» Prouiiet. )

( 3.7 ) i*'. Je suppose que OX, OY soient les âxes reotangu* 1 aires donnés. Afin de simplifier la discussion, je prendrai provisoirement pour axe des X la droite OX' dont Téquation est

Técjuation de la courbe deviendra

j^ = sin [( 2 /i -h i) arc sin ^].

On reconnaît immédiatement que la nouvelle origine O' est un point de la courbe et un centre, car cette équation , vérifiée par les valeurs a: = o, ^ = o , conserve les* mêmes solutions lorsqu'on change à la fois x en — x et y en —y.

La variable x représentant un sinus ne peut recevoir que les valeurs comprises entre -f- 1 et — i ; à chacune de celles qui sont renfermées dans cet intervalle, il en correspond une infinité de arc sinx, mais cependant une «eule de y. En effet, si «représente la plus petite valeur positive de arc sinx, toutes les autres sont données par les formules

aX-TT + a, (2Â:-i-i)7r — a,

et l'équation proposée peut être remplacée par Tensemble des deux suivantes :

jr =r sin[(2/f + i) (2^Tr M* «)],

^ = sin |(2/i 4- i)[{2^-h i)îr — a] j.

Celles-ci se réduisent , lorsque l'on supprime les multiples inutiles de la circonférence, à

r = sin[(2/ï-hi)a],

7 = sin[7r — (2/î-h i)a],

et Ton voit qu'elles sont é^juivalentes. Il suffit donc do con-

( 31.8 ) server l'une d'elles, soit

7 = sm[(2/?-f-i)a],

qui pour chaque valeur de a et de j: n'en donne bien qu'une seule de y.

Pour obtenir les points de la branche de courbe située à droite de l'axe des Y, il faut faire croître a: de o à i , ou,

ce qui revient au même , faire croître a de o à — On peut

la construire avec une certaine exactitude au moyen du tableau suivant qui montre en regard les valeurs simultanées les plus remarquables de x et de j^ ;

TT

2(2/? -hi)

Stt

(2/î — 2)7r 2(2/î-hl)

(2/2 -f-l)tr

Si l'on remarque que Tordonnée et sa dérivée seconde,

(3^9) respectivement représentées par

sin[(2/i + i)a] et

— (2/1 4-i)^sin[(2/î4-i)a],

sont toujours de signes contraires , que par conséquent la courbe tourne constamment sa concavité vers Taxe des X, on reconnaît que, partant de Forigine, elle se compose d^une série d'arcs sinueux qui successivement s'élèvent au-dessus et s'abaissent au-dessous de cet axe, et qu'elle vient enfin se terminer brusquement au point dont les coordonnées sont x = i , j^ = i .

Chaque valeur de x qui rend ( a/i + 1) a multiple impair de - correspond à «ne ordonnée maximum ou minimum dont la longueur absolue est toujours égale à i . Dans rintervalle de deux de ces ordonnées consécutives , la courbe rencontre nécessairement l'axe des X en un point dont Tabscisse rend [in + i)a multiple de tt. Les points d'intersection sont au nombre de n à droite de Taxe des Y. Comme il s'en trouve autant sur la branche de gauche, symétrique par rapport au centre de celle qui vient d'être construite, et que de plus l'origine Qf appartient à la courbe , le nombre total des points où elle coupe l'axe O'X' est 2«-+- 1. On achève de prendre une idée exacte de sa forme, en remarquant que l'intervalle de deux de ces points consécutifs devient de plus en plus petit à mesure qu'ils s'éloignent de l'origine. En effet, leurs abscisses sont les sinus d'arcs équidistants l'un de l'autre

de '■ — î et l'on sait que dans le premier quadrant le rapport \ — diminue lorsque x ausraente.

* arcsmr ^ ^

2". Il faut maintenant revenir au premier svstème d'axes, et faire voir que-si y (x) est une fonction impaire

( 33o ) ayant au plus 2n — i racines comprises entre rf- 1 et ^-i , la courbe représentée par Fé^juation

coupe nécessairement Pespèce de sinusoïde qui vient d'être construite.

J^observe d'abord que puisque f (x) change de signe tout en conservant la même valeur absolue lorsqn^on y remplace x par — jr, la courbe yaK^(x) a l'origine 0 pour centre. Profitant de cette remarque, je vais chercher à établir la propriété en question 9 en montrant que d'un point de la droite AB dont Téquation est jr =s i au prnnt symétrique par rapport à O de A' B' dont PéquatioÀ est X::;^ — I, il e*t impQS9ible de tracer u»e courbe qui pe rencontre pas la sinusoïde et soit telle , qu'à chaque valeur de X en corresponde une seule de ^, sans qu'elle ait au moins 2/14-1 points d'intersection avec OX. Il n'y aurait pas lieu à démonstration si la valeur de jr correspondant k xz=:i était négative ou si elle était positive et plus grande que i , car alors la courbe ayant Torigine pour centre couperait évidemment la sinusoïde. Je supposerai donc que le point pris sur AB soit comme M compris entre A et B. Une branche de courbe partant de ce point et se dirigeant vers l'origine sans couper la sinusoïde peut présenter une forme quelconque dans Tintervalle compris entre le dernier arc dfA de celle-ci et la droite AB, mais il est impossible qu'elle passe à gauche de Tordonnée cd sans couper l'axe des X en un certain point m compris entre Jet 6, et de s'abaisser au-dessous de cet axe. La branche symétrique qui part de M^ le coupera en un point correspondant m' et s'élèvera au-dessus de lui, mais elle ne pourra passer à droite de c' d^ (symétrique à cd) sans le couper une nouvelle fois en un point n' auquel correspondra de même un point n de l'autre branche

(33i ) %imé mr OX- En conUnuam de çeit« inapiè<*0 à tracer ^îmulUnément les deui( brAnchea qui tendant Vnne vers TanUrQ pou)r se réunir, on reopnnait que U courbe dont elles font partie doi t CQuper QX en deux poiptS) chaque fw que se présente une ordonnée minimum de la sinusoïde dont il faut éviter la rencontre. L'ordonnée terminale A'B' est la seule qui se trouve naturellement évitée. Les autres sont au nombre de n. La courbe tracée entre M et M^ ne peut donc avoir moins de ^n-hi points d'intersection avec Taxe des X (le nombre de ces points est nécessairement impair) , et celle que représente l'équation

en ayant au plus 3n — i dans FintËrvalle des mêmes ordonnées doit couper la sinusoïde.

3®. Le théorème de M. Tchebychew est aiqsi énoncé (question 347) :

Soit donnée Inéquation

x~*' -h flrjT*^' -H bx*^^ 4- . . . -f- /^ -+- ^ = o gui ne renferme que des puissances impaires , il y a une

raeine réelle ewnprise entre 2 i/- «J ~ a 4 / —

Il revient évidemment au même de dire que Téquation

obtenue en divisant par a t/ - les racines de la précé-»

dente a une racine comprise entre -4- 1 et — i . Le premier des termes de cette nouvelle équation est 2***. A . j:"*+* , et si on les divise tous par /r, ce qui n'altère pas les solu^ tions, elle prend la forme

(3) 2»-.^«"-^-' 4- Ax'»-» 4- Bx="»-^ 4- , . . -h L.r -h I =r o.

Le théorème sera démontré si je fais voir que les racines comprises entre -+- i et — i peuvent être représen-

( 332 ) tées parles abscisses des points communs aux deux courbes dont les équations sont désignées par (i) et (2) (p. 236). Pour y parvenir, je rappellerai d'abord que, d'après une formule de la trigonométrie, on a

sin [(2/î -H i)a] = (2/ï -h i)cos'*asina

— ^ 5 ' cos»"~»asm'a -f-...,

ou , ce qui est la même cbose ,

sin [(2/ï -h i) arc8inar] = (2/1 -f- i)(i — x^Y x

(i.r')«-tjç3

Une première remarque à faire sur ce développement, c'est qu'il est une fonction impaire de x. Il se compose en effet d'une somme algébrique de termes où cbacun est le produit d'une puissance de (i — or*) par une puissance impaire de x. Une seconde remarque est relative au coefficient de j:'''+% terme qui est évidemment celui du degré le plus élevé dans chacun des produits dont je viens de parler où il se trouve alternativement avec le signe 4- et le signe — . Pour rendre le raisonnement plus précis, je supposerai d'abord n pair; alors le produit (i — a:')", jc fournît le terme -f- j:'"+* tandis que (i — a:')"~*a:' donne — x'""*"* ; mais comme ce dernier est précédé dans le développement d'un coefficient négatif, c'est encore avec le signe -|- que x'"+* se retrouve dans la somme : il en résulte que le coefficient de j!:'"+* est égal à la somme de tous les coefficients numériques du développement, c'est-à-dire de ceux de la an -h 1'*'"' puissance du binôme pris de deux en deux,

2'" de tous les coef-

( 333 ) ficients de celle formule. Je puis donc poser

sin [( 2 /i -H i) arc sin^]

el remplacer l'équalion (i) par réqualion algébrique

(i' ) y= 2'«a:"«+' -h A' ar»-' -+- B' ar'—^-i- . . . -H L' :c +'i ,

daus laquelle il faut seulement convenir de n'attribuer à X que les valeurs comprises entre + 1 el — i .

Il est maintenant facile de voir que les racines de l'équation (3) sont représentées par les abscisses des points communs à la courbe (i') et à la suivante

dont l'équation est comprise dans l'équation (2) ; car c'est une fonction impaire de x et n'a pas plus de 2 n — i racines.

Tout ceci suppose n pair.

Si n était impair, le coeflScîent de a:*"+* dans le développement de sin[(2n -hi) arcsinx] serait — 2*"; mais alors on pourrait remplacer la courbe (1) par celle dont l'équation est

jr = sÎD [(2/1 4- i) arc sina:] — i

qui rencontre aussi la courbe ( 2 ) en un point dont l'abscisse est comprise entre -h i et — i . Les termes extrêmes de l'équation (i') deviendraient ainsi — 2"*x'"+* et — i , et pour que ceux de l'équation (3) leur fussent égaux, il suffirait de changer tous les signes de cette dernière équation : les conclusions auxquelles on parviendrait seraient encore les mêmes.