SURFACES BU SECOND DEGRÉ, PROBLEMES
SoLOTiows PAR M. VANNSON.
Un ellipsoïde étant rapporté à trois diamètres conjuguésy on propose de mener par l'origine un rayon qui soit maximum ou minimum.
L'équation de la surface sera
Appelons A, B, C les angles que font les diamètres deux à deux et soient
les équations d'un rayob qœlco&que. Élimiiiam x^ y^ z entre ccfi quatre équations^ ikous aurons
R désignant le râdîoàl ; si nous àppélOHS l îâ lott^U^ur du rayon, nous auront
/2 =3 a:* H- /^ + «» -4- 2,xx cos C -4- %xz ces A + 2 z:c cosB,
et, fewpla$ant:r, j^, si par leûM ValettrîJ,
7w'-+- /«'+/?'-+- 2«2?cosA-h2J0iwcosB-4-2/w/icosC
Pour rendre cette expression maximum ou minimum,
( 335 ) m, n, p étant trois variables indépendantes, noiil ëgdle*rons à zéro les dérivées prises succeisivement par rapport à chacune, ce qui, en divisant les équations ainsi obtenues membre à membre, nous donne
! -h /? cos B 4- /ï cos C n -^ m cos C 4- 1? cos A
p-^- n cos A -h w cos B
SET ^1 «*«> .M »/ *< »« n,iiit,..i «
Appelants un quelconque de ces rapports, nous aurons les trois équations
mil jj H- n cosC •+• /pcosB = o,
(2) ^ /t ( I — Ti 1 -h/?cosA-»-/wcosC = o,
-4- « cos B + /i cos A = o.
Ces trois équations n'ayant pas de terme indépendant, pour que les rapports —, - soient déterminés , il
faut que le dénominateur commun des trois inconnues soit nul, ce qui donne, après quelques réductions faciles,
(3) J 4- S(*; c; sin'A -H c^ a^ sin^B -^ aj b^ sin'C)
en posant,, pour simplifier Técriture,
— D = I -f- 2 cos A cos B cos C — cos* A — cos'B — cos^ C. Si on décompose D en facteurs, on trouve aisément D = 4 sin/7 sin (p — A) sin (/? — B) sin {p — C),
( 336 ) p étant la demi-somme de ( A -H B + C). Or si on appelle y le volume du parallélipipède formé sur a\ b\ c\ on a
V = 2«' y c' ^sinp sin (p — A) sin (/? — B ) sin {p — C j.
De cette remarque il résulte que le terme tout connu de Féquation (3) est égal à — V*, Vêtant le volume du parallélipipède formé sur les trois diamètres conjugués.
Pour démontrer que les trois racines de l'équation (3) sont réelles, il n'y a qu'à suivre l'élégante méthode de discussion développée dans l'analyse de MM. Briot et Bouquet, page 3o8.
' Ainsi on éliminera dans les équations (2) p par soustraction, on trouve ainsi
I cos A ( — 7 — I j H- cos B cos C 1 n
I CCS B ( y^ — 0 "^ cos AcosC I
I I cos c f -7 — 1 1 -4- cas A cos B I
remplaçant dans la première des équations (2) m, », /? par leurs quantités proportionnelles, on trouve
a ' cos B cos C b^ cos C cos A c^ cos A cos B
(5) cos A
S — a après avoir posé
cosB
cos B cos C ^
GOSA j
cosC
( 337 ) Tant que les quantités a, 6, y sont inégales, oh démontre que Téquation (5) a ses trois racines réelles et inégales, et elles sont positives, comme le montre l'équation (3). Or ces racines ne sont autres que les carrés des demi-axes. Cela résulte des équations (i), car si on mul-*tiplie les deux termes de chaque fraction respectivement par m, n^p^ et qu'on divise ensuite la somme des numérateurs par celle des dénominateurs, on trouve S = /'. Ainsi, dans le cas où a, 6, y sont des quantités différentes, les trois axes sont inégaux. Les équations qui donnent la direction de ces axes sont , en ayant égard aux équations (5),
xcos A(S — g) jcosB(S--6) zcosC(S-~ 7)
Ces équations donneront pour chaque valeur de S une direction déterminée.
Si a = S, une des valeurs de S égalera a; les équations (4) donnent dans ce cas ^ = o, et la dernière des équations ( 2) devient
m cos B H- /î cos A = o :
ainsi les équations d'un des axes sont
z = o et .r cos B 4- J cos A = o .
Ainsi, quand on a a = ê, un des trois axes est dans le plan de deux diamètres conjugués, et réciproquement si dans l'équation a == 6 on remplace a et 6 par leurs valeurs, elle devient
^, /cosA-co8BcosC\ ^^, /
^ ^ ' \ cos A / ' \
cos B — cos A cos C ^
cos B ;
Or si on appelle A' le dièdre opposé à la face A dans
Ann. de Mathémaliques, t. XVU. (Septembre i858.) 22
{ 338 ) Fangle solide que forment les trois diamètres donnés, on aura
cosA — cosBcosC
cos A' = . p . ^ J
