SID B SID G
et
. cos B — cos A cos C
cos B' = : — . . ^ y
sin A sin G
valeurs qui, combinées avec l'équation (6), donneront
(sin2 A\ cosA^ ) bj "" /sin2B\' \ cosB' j
On voit donc que dans un système de trois diamètres conjugués, si deux d'entre eux sont dans un même plan avec un axe, le carré de chacun des deux est proportionnel au sinus de deux fois l'angle compris entre les deux autres, divisé par le cosinus du dièdre opposé à cet angle.
Quand les trois quantités a^ ^^y sont égales, l'équation (5) a deux racines égales à a, donc la surface a deux axes égaux, elle est de révolution, et il n'y a de déterminé que la direction du troisième axe, correspondante à la troisième racine.
Si dans l'équation (3) on examine la somme des racines, leur produit, etc., on en conclut ces trois relations :
La somme des carrés des diamètres conjugués est constante \ le volume du parallélipipède construit sur trois diamètres conjugués est constant; et enfin dans ce même parallélipipède, la somme de carrés des faces est toujours la même pour tous les systèmes de diamètres conjugués.
Problème. Une surface du second degré étant
( 3Î9 ) éclairée par des rayons de lumière partant d'un point (x', y', z'), troui^er r équation delà surface conique formée par les rayons tangents à la surface proposée.
Lemme, Soit ç = o Féquation de la surface -^ on sait que la courbe de séparation d'ombre et de lumière, base du cône cherché, est plane. Son plan, qui n'est autre que le plan polaire du point (x', j', z')^ a pour équation
1 -7- I représentant la dérivée de ap relative à or, dans laquelle on a remplacé x^y^ z par x'^ y* z' \ si dans celte équation du plan polaire, que nous représenterons, pour abréger, par ^{< = o , nous remplaçons x^y^z par les lettres accentuées, nous trouverons un résultat égal à (^)', ainsi
Cela posé, prenons l'équation générale des surfaces du second degré passant par la courbe de séparation, son équation sera
^ étant le premier membre de l'équation générale dun plan. Ainsi i a quatre indéterminées, ce qui montre que la condition de passer par la courbe donnée tient lieu de cinq points. Si maintenant on cherche l'intersection des deux surfaces, on trouve pour deuxième courbe
X = G, flp = o.
Mais cette courbe doit être identique à la première, donc ^ et ^j; ne diffèrent que par un facteur numérique, donc
( 34o ) ce qui donne pour équation de la surface tangente
mais elle doit contenir le point [x'^j'^ z'), d'où
<p' + ar|/" = G,
en ayant égard à la relation (i). On a donc pour l'équation demandée
Il reste à faire voir que cette équation représente bien la surface d'un cône. Pour cela on peut chercher les coordonnées du centre et remarquer que ces coordonnées vérifient l'équation de la surface. On peut dire encore : si on joint le point [x', y\ z') à un point D pris sur la courbe de séparation, celte droite aura trois points communs avec la surface trouvée, le point D étant un point double ou un point de contact de cette droite avec la surface. Donc cette droite est tout entière dans la surface; c'est donc une surface conique.
Si on suppose que les rayons de lumière, au lieu de partir d'un point fixe, soient parallèles à une direction donnée par les angles a, 6, y, la même équation donnera le résultat. Pour cela, appelons / la distance du point à l'origme, nous aurons
j:' = /cosa, j' = /cos6, z'=/coS7.
Après avoir substitué ces valeurs aux coordonnées, on fera /=oo, puis on divisera le tout par /*. Si donc nous appelons y (a) le groupe des termes du deuxième degré, après V avoir remplacé x\ y' ^ z' par les trois cosinus, et
( 34i ) par ^ (oi) celle du plan polaire après les mêmes substitutions et abstraction faite du terme indépendant, nous aurons pour équation de la surface cylindrique demandée
Exemples. Considérons les surfaces du second degré rapportées à leurs plans principaux
Ax' -f- My^ 4- A" «'± I = o, l'équation de la surface du cône sera
( Ax'+ AV -4- A"2»±: i) (A^; H- A'r; -h A"z; ± i) = [Kxa/ + Myy' 4- A" zz'± i)%
et celle de la surface cylindrique tangente sera
(Ax>H- A>*+ A"z»± i) (A ces' a -h A' ces' 6 + A" COS7) = ( A« ces a -h h! y ces 6 4- A" z ces 7 )'.
QUESTIONS D'EXAMEN (ÉCOLE POLYTECHNIQUE). (Soite.)
(Voir p. 814).
2. Trouver les conditions qui doiuent être remplies par les coefficients de Véquation générale du second degré à trois variables
fax" 4- a'y^ 4- a'V 4- 2 ^jz 4- 2 b'xz 4- 2 h"xy 4- 2 ex 4- 2 c'7 4- 2c"z 4- dz=Oy
pour que cette équation représente le système de deux plans parallèles.
On sait que dans ce cas les trois équations dérivées
( 34» ) /' (x) 5= o, y ( j) = o, /' (^) = o, doivent représenter trois plans qui coïncident. En exprimant que les coefficients de différents termes de ces équations sont proportionnels , on trouve, par un calcul très-simple, les cinq conditions suivantes :
3. Lorsque Véquation générale du second degré représente deux plans parallèles, la fonction
ax" + fl'j' -+- a"z^ -h 2 byz -J- 2 ^'jr« H- 2 fc^xj^,
formée des termes du second degré, est , à un facteur près y le carré du polynôme 2cx 4- 2c'y-f- 2c"z qui contient tous les termes du premier degré de cette équation.
Il en doit être ainsi , car deux plans parallèles pouvant toujours être représentés par
À«-f-Bj + C2 + D = o et AxH-Bj^ -f- C»-f-D'=o,
Téquation (i) aura nécessairement la forme
( A:c + Bj + Cz -4- D) (Ax -f- B^-h C« H- D')= o, ou ( A.r -h Bjr H- Cz)* + (D -h D') ( Ajc + B^-f- C«) -f- Diy= o.
On peut aussi conclure cette remarque des relations (a)
et trouver les équations de chacun des deux plans.
, En effet , si l'on remplace a , a\ à" par leurs valeurs
b' b" bb' bb' , , .
— 7—' TT"' -TTj dans la lonction b b' b
a.T? -\- n'y"" -f- a"z^ -4- i byz -f- 2 b'xz -h 2 b"xy^
(343 ) elle devient
**'*"(f+F+py-
« / 1 . hc be
Et, en substituant a c" et & les expressions p, y?
on a
Donc,
ax^ -H «>* -H a"«' -f- 2 6'«a -H a ft"xjr
C'est ce qu'il fallait démontrer.
En posant
VLCX'\- %cfy -\' ic"z=. X,
réquation (i) se réduit à Vb"
ce qui revient à
p^X'-4-X + rf = o.
puisque
De cette dernière équation on tire
D'où
f X + 2c = ± 2 v'c' — flrf-
( 344 ) Mais
a ^ a , , ... 2ûc' 7.ac"
- X = -(2Cd:-f. 2c'r-f- 2c"z)=r ao.r H r H 3.
c c ^ "^ ' ce
D'ailleurs, on a [d'après les relations (a)] ,
il en
résulte
:2ajr-^ 2Ô"7 4- 2b'z,
et
Par
conséquent ,
les
équations des deux plans parallèles
sont
jc) =±2 v'c* — ûcT.
Si
ces deux plans se réduisent k un seul , et lorsqu'on a
c' — flû? <; o , ils deviennent imaginaires.
4. Déterminer les conditions nécessaires pour que Véquation générale du second degré à trois variables représente une surface de résolution , rapportée à des coordonnées rectangulaires.
Soient
l'équation de la surface considérée , et
( 345 ) celle d'une sphère ayant pour centre un point [x'^ j'^ ^') de l'axe de révolution. En disposant convenablement du rayon et du centre de la sphère, l'intersection des surfaces (i) et (2) sera formée de deux circonférences réelles^ situées dans des plans perpendiculaires à Taxe de révolution, et dont les centres appartiendront à cette droite.
Toutes les surfaces du second degré qui contiendront ces deux circonférences , seront représentées par Téquation
dans laquelle X est un coefficient arbitraire.
Or, le système des deux plans parallèles où se trouvent les deux circonférences est une surface du second degré qui contient ces deux courbes ; donc il doit être possible d'attribuer à XjO:', y'-) ^' ^^^ valeurs telles, que Téquation (3) représente lé système de deux plans parallèles^ il faut, par conséquent, qu'il existe pour X, x'^y'y z' des valeurs qui rendent identiques les équations dérivées de l'équation
En remplaçant /[oc^jy z) par
ax^ -\- a'y^ H- a'^z" -f- 2 byz -f- 2 b'xz -h 2 b"xy H- 1CX -f- ic'y -\- ic"z -f- €/,
les équations dérivées de (3) deviennent
(4) ax-\' ^"j-f-^'z-f-cH-X(j:— x') = o ,
( 5 ) ^"x + fl> 4- ^2 -4- c'+ X (r .- y ) = G ,
Pour qu'elles admettent les mêmes solutions, il faut
qu on ait
Les relations (7) et (8) donnent
, ^^" , , bb'' „ , bb'
^ b'b" bb" , bb'
Ainsi 9 les coefficients de Téquation générale du second degré devront satisfaire aux deux conditions
b'b" bb" , bb'
pour que cette équation représente une surface de révolution.
Quand ces deux conditions seront remplies, en prenant pour la valeur de X l'une quelconque deâ trois différences
b'b" bb" , bb'
les équations (7) et (8) seront vérifiées. Quant aux équations (9), qui contiennent les trois inconnues x\ y\ z\ elles admettent une infinité de solutions différentes. On en déduit, en remplaçant i par sa valeur,'
h" bc--b"c" , b" , fcV— 6V'
'-~'^ b'b"-ab *' ^'—V'''^bb"—a'V
( 347 ) Ce qui montre que le point (a/, y', z) appartient à la fois aux deux plans
■^ "" ^ * "^ b'b"-^ ai' -^ ~ y * "^ bb"--^ a'b''
L'axe de révolution est ainsi déterminé , et il est facile de reconnaître que cette droite est perpendiculaire au plan que chacune des équations (4) , (5), (6) représente.
(yolrt. XII, p. 8S7);
Par m. FAURE.
ABC est un triangle donné, F un point fixe dans le plan du triangle, une droite variable AD passe par le point A et rencontre le côté BC en D, point variable. Construisons une conique ayant pour foyer F, et touchant les trois côtés du triangle ABD. Soit E le point de contact sur AD, construisons une autre conique touchant les trois côtés du triangle ACD, soit E' le point de contact sur AD, l'angle EFE' est constant.
Je suppose que la première conique soit une ellipse, la seconde sera une hyperbole en général. Soient G le point où l'ellipse touche le côté BC, G' le point où l'hyperbole touche le même côté. Je joins le point F aux points A, B, C, D, G, G', E, E'. Les angles BFG, G' FC sont égaux, puisque chacun d'eux est égal à l'angle AFD, sous lequel la ligne AD, interceptée entre les deux tangentes fixes AB, BC ou AC et BC, est vue du foyer F. Ajoutons à chacun de ces
(348 ) angles égaux l'angle GFC, j'aurai GFG' = BFC. D'où l'on voit que Tangle GFG' a une valeur constante. Or DF étant bissectrice de Fangle GFE et de Tangle G'^FE' (G" étant un point pris sur le prolongement de FG'), j'ai
DFG = DFE, DFG" = DFE', d'où
DFG" — DFG = DFE' — DFE ou GFG'' = EFE':
mais GFG'' est égal à 1 80^ — GFG' = 1 80^ — BFC, c'està -dire a une valeur constante ; il en est donc de même de EFE', et Ton voit de plus, qu'elle est la valeur de cette constante.
La démonstration serait analogue pour toute autre position du point F.
(yolrl. Xl,p. 401);
Par m. FAURE.
Si Ton considère une suite de valeursy„, j^„i , . . . ,j^i , yo que prend une certaine fonction de x^ lorsque la variable reçoit une série de valeurs x„, :c„i, . . . , a:,, jCo, on trouve pour la n""**" différence dey„ l'expression
La considération de celte série donne immédiatement la solution de la question 262. Ainsi si l'on pose
(349) on aura
*-•»/>, B • • • -i- ^np, n9
n étant un nombre entier et positif, p une quantité quelconque.
Soit en effet
p:v(px — l) (/?3r — 2) . . . (/?x — « -f- i) 1 .2.3. . .«.
une fonction de x. Si Ton donne à x les valeurs o, I, 2, . . . , n, on obtient successivement
0> ^p,nj ^ip,n9 ' • 'y^np,n9
donc
^^ ^np, n — O Cpn H Cjn, n • • • HZ Cnp, n >
d'ailleurs la différence «**"*' de C„p,„ est évidemment (-— p)„^ donc, etc.
ÉCOLE POLYTEGHNIOllE. CONCOURS D'ADMISSION EN 1858
(voir t. XVI, p 112).
Composition mathématique.
X »Y<i z désignant des coordonnées rectangulaires et m un paramètre variable , on demande de déterminer les diverses surfaces qye peut représenter l'équation
j:' -h ( 2 /w* + I ) (j^ -I- z^) — 2 ( j:/ H- JTZ + yz) zzzim} — 3 /w -h 1 ,
lorsque le paramètre m varie de — oo à -f- oo .
Calcul trigonométrique* Triangle sphérique :
O / ff
fl = 35 28 26,7, ^ = 90.39.54,3,
Épure de géométrie deiscriptwe.
Ua tronc de cône droit à bases parallèles est posé sur le plan horizontal par sa grande base qui est un cercle de 5 centimètres de rayon \ la hauteur du tronc est de 10 centimètres et la petite base a 2 centimètres de rayon. Ce tronc de cône est surmonté d'un cylindre droit ayant même axe que le tronc , un rayon de 5 centimètres et 2 centimètres de hauteur.
Dans un plan, passant par Taxe commun des corps cidessus et faisant un angle de 45 degrés avec le plan vertical , on prend un point S distant de cet axe de 1 2 centimètres et de 20 centimètres du plan horizontal.
Cela posé , on propose de construire les projections de l'intersection du tronc de cône avec un cône oblique , ayant pour sommet le point S et pour base la base inférieure du cylindre qui surmonte le cône tronqué.
On veut aussi connaître : i^ la tangente en un point quelconque; 2^ la tangente en un point situé dans un plan tangent , mené au tronc de cône par le sommet du cône oblique \ 3^ la tangente en un des points pour lesquels elle a une direction horizontale.
Nota, L'épure portera une légende explicative.
Lavais à V encre de Chine, Faire le lavis , à Tencre de Chine, d'une surface cylin-
( 35i ) driquede lo centimètres de diamètre sur i5 centimètres de hauteur. Ce cylindre devra se détacher si;r un fond formé d'une teinte plate grise; il reposera sur un socle dont la surface plane sera indiquée par une teinte plate d*une très-faible intensité.
Le modèle de cette surface cylindrique pourra être fait à teintes fondues ou adoucies , ou bien à teintes plates superposées.
On admettra que le rayon de lumière a pour projections horizontale et verticale des lignes inclinées à 45 degrés sur la ligne de terre. Le cadre limitant le dessin aura 24 centimètres de hauteur sur 18 centimètres de largeur.
Composition française .
L'amour de la patrie.
