QUESTIONS DEXAMEN (ÉCOLE NAVALE

1. Considérez sur une circonférence (*) m points A01 Al, A,,. . •, A,„i, dii^isant cette courbe en m. parties quelconques^ et supposez qu^à partir de l'un d'eux, de Ao par exemple^ on conduise conséculiuement des cordes qui unissent ces points de n en w^ de sorte que la première de ces droites soit menée de Aq au point A„; la seconde^ de A„ au point Ai„, et ainsi de suite^ chacune d'elles sous-tendant n des parties en lesquelles la circonférence est divisée : pour que l'on passe ainsi par tous les points de diwion, il faut et il suffit que les deux

(*) Et plus généralement sur une courbe fermée.

( 352 ) nombres m. et u soient premiers entre eux. C'est ce qu'on propose de démontrer.

Quels que soient les deux nombres entiers m et /z, la construction indiquée ramènera au point de départ Ao. En effet, désignons par m' et n' les quotients obtenus en divisant m et n par leur plus grand commun diviseur, on aura

puisque chacun des produits nm\ mn' représente le plus petit multiple de m et de n. Or, Tégalité nm*=zmn montre que si l'on conduit consécutivement m! cordes sous- tendant chacune n des divisions de la circonférence, la somme de tous les arcs qu'elles sous-tendent est égale à un nombre entier n' de circonférences 5 par conséquent, la dernière aboutira au point d'où on est parti.

Si , généralement , on nomme x le nombre des cordes à mener pour revenir au point de départ, et y le nombre entier de circonférences dont se compose la somme des arcs sous-tendus par ces cordes, on aura nx = my^ d'où

Les nombres m', n'étant premiers entre eux, x et y seront des équimultîples de ces nombres, donc le minimum de X est m'.

De là nous concluons qu'en menant à partir du point Ao un nombre de cordes égal à m', on revient à ce point, sans passer plus d'une fois par l'un quelconque des autres Al, As, etc. 11 en résulte que ces cordes unissent entre eux m' points distincts. Il est d'ailleurs évident que lorsqu'on est revenu au point de départ A^, la construction indiquée ne peut donner aucune corde nouvelle, donc le nombre de points par Iciquels on passe en suivant celte construction est précisément m'.

Pour que m = m, il faut et il suffit que le plus grand commuu diviseur de m et n soit l'unité, c^est-à-dire que les deux nombres m ein soient premiers entre eux. G'esC ce qu'il s'agissait de démontrer.

Note, La question que nous venous de traiter est au nombre de celles qui ont été jadis plusieurs fois proposées dans les examens d'admission à l'Ecole Polytechnique, afin de bien apprécier la spontanéité des candidats {voir t. Vm, p. 68).