On a les groupes

i3, i5, 17, 19; et ainsi de suite :

Proui^er que la somme des nombres contenus dans chacun d'eux est un cube ( * ) .

Le nombre des termes contenus dans les n premiers

groupes est '- Lt, comme ces termes sont les

nombres impairs consécutifs i, 3, 5, etc., leur somme a

.pour valeur -• On a, de même, en addition-

nant tous les termes des (n-t-i) premiers groupes,

-, 1 L, Donc la somme des nombres contenus

dans le {n-^ i)**"' est

{n 4-.i)»(«-+-2)' — /i» {n -f- lY

{*) Cet énoncé m'a été communiqué par un candidat à TÉcole Navale; je B*y change rien.

A»n. de Mathcmat., |. XVII. (Septembre i858.) 23

( rn )

on

expression qui se réduit évidemment à (n-\- i)*.

(TOir t. Xin, p. IW);

Par un ANONYME.

Si Fou divise d'une manière quelconque un polyèdre homogène en tétraèdres et si Fon suppose la masse de chaque tétraèdre réunie au centre de la sphère circonscrite à ce tétraèdre, le centre de gravité de ce système de points matériels est toujours le même.

J'appelle A, , Ay , As, . . . , A„ les sommets du polyèdre^

(«t1 *fi Cl)? («î» iîi C«)j («3, isj <?»)?• • •? (<ï»> Ky Cn) leS

coordonnées de ces points relativement à trois axes rectjsingulaire^ issus d un point arbitraire O. Je divise la surface du polyèdre en triangles et je joins leurs sommets a un point quelconque M dé l'espace, j'aurai ainsi une des décompositions exigées par la question. Considérant en particulier la pyramide triangulaire MAi At As, dont le sommet M a pour coordonnées a:, j^, z, on aies trois équations

(«3~- .r)a -h [0,- j)P -^(^3 - 2} 7 == ^ (oa; - 0M=),

( 355 ) jyoùr exprimer que le point ol^ ^. y est le centre de là sphère circonscrite au tétraèdre dont il s'agit. Résolvant ces équations, on en tire pour a, par exemple, une valeur

dans laquelle

Ifl, — ^, bx — Xy c. — z \ ai — x^ hi — /, c, — « > ,

iOA; — 0M% h, —y, c, — z \ Ok\ — 0M% 6, — 7, c, — z |.

OAJ — 0M% ^3 — r^ c^—z\

Or la quantité D est proportionnelle à la masse dïu tétraèdre, donc N sera à un facteur constant près le mo^ ment du point matériel considéré relativement au plan des yz. Agissant de la même manière pour chaque

tétraèdre, nous aurons une sonïme de moments ^N,quî,

divisée par le volume V du polyèdre, donnera Tabscisse du centre de gravité de tous nos points. Il est manifeste

que la somme ]^N est constante \ car

et cette expression se réduit à

; «,, ^,, e, \ !2V = 2dét. Jd,, ^î, cj^,

en plaçant l'origine des coordonnées au point M. Mais (4i

(356) tnéme temps il faut que la somme VN se réduise à

^N =2dét.|0A;, b,y cJ, c est-à-dire à une quantité constante.