Le principe suivant sera d'une application fréquente

Soient Xi, Xj, Xj, trois fonctions linéaires des coor-^

données — 1 ~> — d'un certain point M, par rapport

J?4 «174 WC4

ai/jc ^zj:65 Oxj, Ox„ Oxj 5 « F on prend pour nouveaux axes Oi ji, Oi jj, Oijs, /e^ intersections des trois plans Xi = 05X8= o, Xj = o, qiLon suppose se couper en un seul point, les Jonctions X^, Xj^ Xg seront proportion^nelles respectii^ement aux nouif elles coordonnées y,, y,, yj du même point M.

La démonstration de ce théorème se déduit immédiatement des formules de transformation des coordonnées.

3. Je rappellerai encore quelques notions relatives aux déterminants.

(*) J'ai supprimé la virgule qu'on place ordinairement entre les deux indices de chaque lette'e; il n'en résultera, dans le cas actuel, aucune obscurité , et la lecture deviendra pfus facile.

( 372 ) Si P représente un déterminant dont les éléments sonl

a^ s> la notation ^ — désignera un déterminant déduitdu déterminant P, en supprimant la r**'"" ligne et la 5'^"** colonne 5 mais, en outre, - — sera la dérivée, par rapport

à a^^sy du déterminant P, pourvu qu'on affecte le déterminant déduit et non déi^eloppé du signe plus ou du signe moins, suivant que les nombres r et j sont de même parité ou de parité différente.

De même -;; désignera un déterminant, déduit

dar,,dar^^,^

du déterminant P, en supprimant d'abord la r'**"* ligne et

là 5***"* colonne, puis la r,'*"*' ligne et la ^i'*"*' colonne -,

mais, en outre, -; ; sera la denvee de -z — > par

da,,,dar^,^ dor,, ^

rapport à a^^,,^- On connaît le signe de ce premier déterminant non développé d'après la règle précédente j on affectera le second déterminant déduit et non développé du %\%neplus ou du signe moins ^ d'après la règle sui vante:

1**. SI I ' C[^ [9 on donnera le signe + ou le signe—,

suivant que [r^ — 1) et [s^ — i) seront de même parité ou de parité différente ^

2°. Si I ' [5 on donnera le signe -h ou le signe —,

suivant que (r^ — i) et ^4 seront de même parité ou de parité différente;

3**- Si I ' l? on donnera le signe -H ou le signe — ,

suivant que Tj et (54 — 1) seront de même parité ou de parité différente;

4^. Si I ' ^ |> on donnera le signe -f- ou le signe — ,

suivant que i\ et Si seront de même parité ou de parité différente.

On combinera les deux signes ainsi obtenus, d'après la règle usitée des signes, et on aura définitivement le signe dont il faudra affecter le déterminant déduit ^ non déi^e-

loppé, pour que -z -r— — soit la dérivée seconde du dé^

terminant P.

- Cette règle se légitimera facilement par les considérations suivantes : -^— représente un déterminant obtenu

en supprimant la r*^"*' ligne et la j**"** colonne, affecta du

signe -4- ou — , suivant la parité ou la disparité du

couple (r, s). Pour obtenir -r 5 il faudra, dans ce

^ ^ ' dar,,dar,,,^

dernier déterminant, supprimer la rj**"** ligne et la ^j**'"'

colonne ^ mais pour connaître le signe de ce résultat, il

sera nécessaire de ramener le déterminant susdit au type

normal^ c'est-à-dire diminuer de un tous les premiers

indices dans les lignes qui suivent la r***"' ligne, ainsi que

tous les seconds indices dans les colonnes qui suivent la

gième colonne. Ce qui conduit immédiatement à la règle

que je viens d'énoncer.

Le type normal est celui où les indices se suivent dans leur ordre naturel et sans discontinuité.

Il ne faut pas oublier que les signes des différenis termes d'un déterminant dépendent du signe du produit des termes de la diagonale qui part du sommet supérieur à gauche du carré, et auquel, suivant l'usage, j'affecterai toujours le signe plus*

J'ai insisté sur toutes ces conventions, parce que le signe de ces quantités joue, dans les questions que je vais traiter, un rôle très-important 5 et il est nécessaire d'éviter toute espèce de confusion.