I -f- lang^ I -h tang <p tang

Par conséquent

P — V P + 9 tang— ^ col ^ == lang{ç — 45»).

On ne pourra donc avoir en même temps

c[ue

tang -— ^ tang -— ^ = tang [j — 45»),

A étant un nombre quelconque.

Noie, M. Dellac, professeur à Amiens, fait observer que ce problème est consigné dans tous les Traités de Trigonométrie. Gauss se sert fréquemment de cette transfor-^ mation dans son cé1èbi*e Traité.

mmm m la ivestun sss

(Toir p. 906);

Par m. J^Ch. DUPAIN,

Professeur,

M. LABB^ POITRASSON (du séminaire de Vais, près le Puy) ET M. SIACCHI (Francis) (de Rome).

Les deux polygones proposés sont homo thé tiques. Du centre d'homoihétie, j'abaisse sur deux côtés homologues les perpendiculaires p, //, et sur deux autres côtés homologues les perpendiculaires ^, </.

Ces perpendiculaires étant des ligues homologues ,

P 7 ' d'où

mais d'après la troisième Iiypothèse

donc

f-q, j/ = fj\

Le centre d'homothéiie est en même temps le centre de deux circonférences respectivement inscrites aux deux polygones. c. q. f. d.

M. Siacclii fait observer : i° que deux polygones satisfaisant aux deux premières conditions et ayant les intervalles entre les sommets homologues égaux, sont inscriptibles dans deux crrcUîs 5 2" que deux polyèdres satisfaisant

h des condîlions analogues à celles qui sont indiquées dans la question ou à celles qui sont indiquées dans (i^)) , sont circonscriptibles à des sphères ou inscriplibles.

M. Tabbé Poitrasson donne ce scolie :

i^. Si les deux polygones sont convexes, ils ne satisfont aux conditions du théorème que si Fun des polygones est intérieur à Fautre^ 2^ s'ils sont non convexes, ils doivent élre extérieurs Tun par rapport à Fautre.

Les polygones étoiles circonscrits rentrent dans le cas des polygones convexes.

KOTB SUR LES POLYGONES RÉGULIERS SPHÉRigUES ET SOLUTION DE L4 QDESTION 153 (Sirehor)

(Toirt. VI, p. ÎW);

Par m. FAURE.

Si l'on appelle a^ i, c les côtés d'un triangle sphérique, C Fangle opposé au côté c, on a la relation

cosc =r cosrt CCS b 4- sin a sifl b ces C ,

d'où l'on déduit facilcmenl

sin' — r == sin' — a cos' - b -{- cos' - a sin' - b 2 22 22

— 2 sin - fl sm — t» ces - a cos - b cos C ? ?. 2 'j- 2

co9^ - r = cos- - a cos' - ^ 4- sin' - a sin' - b 2 22 22

-H 2 sm - /7 sm - ^ cos - n eus -■ b cos C.

Legeudre, dans les précieuses Notes de sa Trigonomé^ tricy développe la valeur de sin - c et cos - c en série, et trouve (les logarithmes sont hyperboliques)

taog - b

log sm - c = log I sin - <i cos - ^ )

cosc

tang ^ a

tang' - b

2 tang' - tt

log cos - r = loc ( cos - a cos - ^ ) H '■

tang- b

cosr

cot — a

tang* - b ros2c-

2 cot' - a

et ayant de telles séries, on peut repasser aux é(|uations finies d^où elles proviennent) observation essentielle pour ce qui suit.

Legendre montre aussi que la valeur de x, que Ton lire de Téquation

tang.r = tang - C,

peut s exprimer par celle série

x=: -CH- — sinC H -sin2C -h :; — :sin3C-h..-.