I -+- tang - a tang - b
donc, en vertu de la formule précédente,
tang - b tang* - b ^ A — B TT — C ^2 . - ^2 . = sinC sin 2 C
tang - a 2 tang^ - a
tang' — b
sîn3C T-."f
3 tang* - a
— — = 1 -sinC — sin2C
col - a 2 cot' - a
tang* - b
■ sin 3 C — .
3 tang' - a
Si Ton fait la somme de ces deux valeurs, on obtient
tang - b lang - b
A=:7r— C4-I — IsinC
cet - a tang - a
tang' - b tang^ - b
L ( 1 1 — I sin 2 C
cet' - a tang* - a
I tang^ - b lang^ - b
+ 1 —f: -f- IsinSC- ...
\ cot^ - a tang' - a
On peut donc regarder celle expression comme étant le développement de la valeur de A donnée par la relation
tang-^f I — tang^-rt j — tang-/? ( i — tang'-^ j cosC laDg - /î ( I -{- f ang' - ^ j sin C
col A =^
car
/ A 4- B A — B col A = cot I 1
Développant cl substituant les valeurs ci-Jcssus, on obtient cette dernière relation qui n'est que la transformation de
co\a sin b = cos b cosC -h sine col A.
Ces principes établis, proposons-nous de trouver en coordonnées polaires sphériqucs le lieu d'un point P sur la surface d'une splière, tel que si delà on mène des arcs <lc grands ccidcs aux sounncts P,, P,,. . ., P„, d'un po-
lygone régulier sphérîquc inscrit dans un petit cercle donné, i ** le produit des sinus des demi-arcs PPi , PPj, . . . , PP„ soit constant; 2^ et 3° le produit des cosinus ou des tangentes des mêmes demi-arcs soit constant; 4^ la somme des angles PPj P,, PPjPs,..., PP„Pi soit constante (♦). 1**. Prenons le centre O du petit cercle pour pôle, et le grand cercle OPi pour axe polaire. Soient OP = p; POPj = w les coordonnées d'un point P du Heu cherché. Désignons aussi par pi, p),..., p„ les distances sphériques du point P aux dillérents sommets P| , Pi,. »*r P„ du polygone, on a par hypothèse
sm - p, sm - 09 , . . . , sin - p» = sin" - k,
k indiquant une constante quelconque. Formant les triangles OPPi, OPP,,..., OPP„, on trouve de suite, a étant le rayon sphérîque du petit ceicle,
smV p, = sm* - rt ces' - p -f- cos' - a sm' - 0 2 '^ 2 2 '^ 2 2 ' •
— 2 sm - a sin - p cos - a cos- c co» w,
sin' - pj == sin' - « cos' - p -h cos' - a sin' - p 2 ^ 2 2 ^ 2 2 '
. I . I I I / 2tr\
— 2 sm - û sm - D cos - a cos - p cos ( w N
2 2 ' 2 2 '^ \ ' ni
1 I I I . I sin' - prt = sm' - a cos' - p 4- cos' - a sin' - p
\ - a cos - p cos w ^ ) ;
1 I 2sin-^ sm- 0 cos-
' ") ^** î" **^"^ ^^''^ 'c Mijet «If la r|ur>lion.
( 4^6 ) OU déduil doue de là
lang - p
log sin - Pi = log I sm - a cos -pi cosm
tang - a
tang' i p
cos 2W —
a tang' - a
lang-p
log sin - pj = logl sm - a cos- p j cos I w I
lang' - p
cos 2 I
', I 2 lang' - û
log sin - p„ = log (sin - a cos - p J
cos a> ^ ^— )
lang^p
tang - /7 tang'lp
cos 2
2 tang* - rt
(.îii^-)...
Ajoutons ces résultats
i . , /. I . \« ""■'* ^f- - ^ = log ( sin - a cos - p ) (
tans" - a
lang^'-p
cos 2/Jw -r- .
2 tang'" -^
(4»7) On voit en eflfel facilement, en ayant égard à la valeur de la somme
/ 27r\ / 2(/z— l)Tr\ COS W « -f- COS /7Î » I ... 4- cos /w I w ^ ^ I ?
que celle somme est nulle toutes les fois que m n'est pas un multiple de /?, et lorsque le contraire a lieu, celte somme est égale à n sin mo).
La valeur que nous venons de trouver pour log sin - k donne en passant aux nombres (p. 4^i cl 4^3)
sin* ~ Â = sin"* - a cos^' - p -f- cos'" - a sin*" - o
— 2 sm" - a cos" - a sm" - p cos" - cos n w ,
équation du lieu.
2^. Mêmes notations. On a par hypothèse
