Cette seconde méthode, interprétée géométrique
( 4.5 ) ment, consiste à chercher un ou deux des trois couples de sécantes communes aux deux courbes du second ordre que représentent les équations proposées ^ parce qu'alors il ne reste plus qu'a calculer, soit les rencontres de Tune de 'ces courbes arec uu système de deux lignes droites, soit les rencontres de deux tels systèmes entre eux«
4. A chaque racine de Téquation auxiliaire du troisième degré que fournit la méthode doni il s'agit, corres* pond un couple de sécantes communes, couple réel ou imaginaire* A une racine imaginaire correspond toujours un couple de sécantes imaginaires ; mais à une xacine réelle ne correspond pas toujours un couple de sécantes réelles. Car il faut, pour que les sécantes existent effectivementf que la racine réelle qui leur correspond rende positive une certaine fonction des paramètres des équations proposées.
5. Lorsque les deux courbes du second degré se rencontrent en quatre, points, les trois couples de sécantes communes sont nécessairement réels. Et comme l'existence de deux de ces couples entraine forcément celle du troisième, on saura que cette circonstance de quatre rencontres a lieu si les trois racines de Féquation auxiliaire sont réelles, et si en même temps deux d'entre elles rendent positive la fonction dont nous venons de parler.
6. Quand les courbes ne se rencontrent pas en quatre points, elles se rencontrent en deux, ou bien elles ne se rencontrent pas du tout. Mais dans l'un comme dan» l'autre de ces deux derniers cas, on sait à priori qu'il existe un couple de sécantes réelles, les deux autres étant imaginaires.
7. Dans cette circonstance d'un seul couple de sécantes réelles, comment vider la question de savoir s'il y a deux
( 4i6 ) renconlres, ou s'il u'y en a pas? On n'indique pas d'autre moyen que de chercher les intersections de chacune des sécantes réelles avec Tune des deux courbes proposées. De sorte que, si effectivement il n'y a pas de rencontres, on aura fait un calcul inutile. C'est ici que je crois pouvoir signaler une lacune.
8. En effet, deux cas distincts donnent lieu à l'existence d'un seul couple de sécantes réelles, savoir :
1°. Les trois racines de l'équation auxiliaire étant réelles, une seule rend positive la fonction dont il a été question précédemment;
Q?. L^équation auxiliaire n'a qu'une seule racine réelle.
Or on peut démontrer que dans le premier cas il n'y a aucune rencontre, et qu'il y en a deux dans le second.
9. Pour démontrer ce théorème, j'observe d'abord que la nature des rencontres, et que par suite la nature et les propriétés des racines de Téquation auxiliaire sont indépendantes du choix des coordonnées ; que, de plus, Tun des systèmes de sécantes communes est toujours réel ; de sorte qu'on peut étudier la question en supposant les deux courbes rapportées k deux sécantes communes prises pour axes de coordonnées.
10. Les deux équations de ces courbes ne diffèrent alors que par un seul paramètre, et peuvent être discutées sous la forme suivante :
ax^ -h Bxr -h cjs^ ■+•<// 4- e'x -f-/= o, ay^ 4- B, xy -h rx' -4- rfj H- r:c +/= o»
Leur combinaison est :
-Hc(i H->)x»-+-rf(i ^'X)y ^ c{i -h^x ^h /(i -HX)= o.
(4'7) Et iVqualicyii auxiliaire /débarrassée du facteur i + X qui, égalé à zéro, donne la racine réelle correspondante au système de sécantes prises pour axes de coordonnées, se trouve abaissée au second degré comme il suit :
{ae^ -h cd' -^ J^ acf) ( i -f- ^X)' — de[^ -h XB.) ( i H- X) -+-/(B 4- XB,)' = o.
ly ailleurs la réalité des deux raciucs de cette équation, se confondant avec la réalité du rapport :—-y
entraine une condition qui se transforme aisément dans la suivante :
Or les facteurs binômes a* — ^cf^ et ci* — 4^/) som respectivement ceux dont le signe décide la réalité des rencontres de chacun des axes de coordonnées avec les courbes proposées. Et par là on voit que, si les quatre rencontres sont imaginaires, les trois racines de Téquatîon auxiliaire sont réelles, et que si deux des rencontres seulement sont imaginaires, cette même équation n'a qu uiie seule racine réelle.
11. Je termine par une simple réflexion. La méthode que je viens d'étudier est certainement intéressante et instructive^ mais peut-elle être d'un grand secours dans la pratique des équations numériques? Je crois qu'il est permis d^en douter. En effet, Téquation auxiliaire du troisième degré pourra bien n'avoir aucune racine commensurable; même il pourra arriver que les deux sécantes qui correspondent à une racine commensurable de Téquation auxiliaire aient des équations à coefficients incommensurables. Et alors, si on a besoin de résoudre avec un degré d'approximation déterminé les deux équations
Ann. de Uathrmat.y t. XIX. (Novembre 1860). 27
( 4»8 ) du second degré, ne yaudrait-il pas mieux s'en tenir à Téquation du quatrième degré fournie par rélimination de l'une des inconnues?
SOLlITiON DE LA QUESTION 530
(TOlr p. 147);
Par m. ëugâkx FORESTIER,
Elève da ]ycéc Saint-Louis,
Et mm. vannier (Bourg-la-Reine) «t SIAGGHI (Rome).
La queslion 530 doit être rectifiée de la manière suivante :
, . sinP
^ ' sm^ ®^
d'où
lang i cot 5! = tang (^ — 45")-
En effet, Tégalité (i) peut s'écrire
sin P sin ^ tangf~* I
ce qui donne
sinP sinP -h sin^ sinP — sin 9
tangf I -f- tangf tangy — 1
d'où
sinP — sînç tangf — i
fînP -+• sin Y "" I -H tang^
et en vertu de transformations connues
tanc i-
P -hf "" I + tang»* tang i- ®^
I = tang45''y donc
'^"gy-"' = tangy ^ tang45- ^
