CX' + CY^ H- C,XY =^CB
La polaire d'ordre A de l'origine des coordonnées, par rapport à la surface (1)9 a pour équation
— j. = A,tf, -f-Aatt, -f-... -h A.|l£,»i=0,
Aj = (« — a)(ii — 3). . . {/» — /)(« — ^ — 1),
et Téqualion de Tifidicatrice à l'origine de celte surface est
(3) C.X' 4- a Y» H- C4XY = CB, ~.
Cette équation fait voir que Tindicalrice ne varie pas avec A. donne des courbes semblables, ce qui démontre la première partie du théorème. Quant à la seconde, elle résulte aussi immédiatement de réqualion (3). On sait que les rayons de courbure des sections normales passant par un point sont proportionnels aux demi-diamètres que ces sections déterminent dans l'indicatrice ; or ces
demi-diamètres sont proportionnels à — = : et,
par suite, inversement proportionnels à {n — k) — i.
Le théorème de Meusnier étend ce que nous venons de
dire aux sections obliques.
SOLUTION Dl LA QUESTION S34
• (*oir p. US)i
Par m. Chaale$ KESSLER.
T«éo&£ME. Soient • T équation d'une courbe algébrique^
réquation dune tangente au point XiVi \ X, Y un point
Y" quelconque de cette tangente: «-7— x est un maximum ou
un minimum, lorsque Y = j-i, X =; Xf.
Démonstration, Je remarque que l'équation ci-dessus de ]a tangente à la courbe est inexacte-, pour qu'il en fut autrement, il faudrait que T équation de cette courbe parabolique {ût y = F (x) : c'est du reste à cette dernière forme que je vais la ramener. Je pose
L'équation de la tangente est y — ji =/' (x,) {x — X|),
et je djs que — ^ = vTncl) ^^ t-t^ est maximum ou
minimum pour X = Xj , Y =y, .
Ceci peut être cousidéré comme évident â priori, car
pour tous les points de la eourbe -7t-\ = i =constante,
et par conséquent la dérivée est nulle : ce qui indique que tous lespointsde la courbe, et en particulier lepointXi ^y^
Ann, de Nathémal., t. XIX. (Novembre 1860.) 28
( 434 ) jouissent de celle propriété qu'ils rendent maximum ou minimum la fonction précédente.
En voici du reste une autre démonstration, ou plutôt
une extension. Le numérateur de la dérivée de . est
Yy(X)-Y/'(X),
ou, en remarquant qu'entre l'ordonnée et Tabscisse à l'origine, on a la relation
d'où
/'(x.)/(X)-.X/'(x.)/'(X)-Hx./'{x.)/'(X)-J./'(X);
et comme
on voit que celte expression est nulle pour x r= jr, , y=yi'
mjmm w la question ut
(Toir p. Ml) :
Par m. Charles KESSLEH.
Théorème. Supposons que z' puisse se décomposer de n manières en produits de facteurs inégaux (i . z* corn-pris) ; démontrer que ^r? peut se décomposer de n ma^ nières, et pas dauantage^ en différence de deux carrés entiers.
Démonstration, Supposons
py q éuut deux quantités différentes entre elles ; on pourra toujours trouver deux quantités et deux quan-
tilés seulement telles, que
d'où
Ceci apprend déjà que tout carré est la diflerence de deux autres carrés, et d'autant de manières qu'il peut se décomposer en produit de facteurs inégaux. De là on tire
(a et jS sont tous deux. pairs ou tous deux impairs).
Des quantités a, j3 étant détcrmiriées et uniques pour cbaque système de valeurs de p et q^ la proposition est démontrée. Elle s'étend en outre évidemment à tout nombre qui n'est pas premier et peut se formuler :
Supposons que k non premier puisse se décomposer de n manières en produits de facteurs inégaux (i .A) compris, 2*"/: peut se décomposer de n manières au moins en différence de deux carrés entiers : du reste, tout nombre est la difi^érence de deux carrés.
Il est facile de montrer plus clairement que le nombre de manières dont 4^' peut se décomposer en difTérence de- deux carrés entiers, ne surpasse pas celui dont z^ se décompose en produits de deux facteurs inégaux. Si, en effet, il en existe une autre
4«' =: m^ — /i*, d'où
z^ se décompose en produits de deux facteurs inégaux, et par hypothèse on a considéré toutes les manières dont cela arrive.
SOllITION DE LA QUESTION 544
(TOir p. 8S1 ) ;
Par m. Cha&lfs KESSLER.
Je suppose qu^on change vl signes , et désignant le nouveau polynôme par Q, combien PQ renferme-t-îl d'irrationnelles? Soit 71 = fi' H- n" :
Soit A l'ensemble des n'' termes dont le signe n'est pas changé, B celui des ri termes dont ou change le signe,
PQ = ( A -f- B) (A — B) = A' — B», et le nombre des irrationnelles est
CWCMIS rJUMiSSiON A L'fiGOLB WMUIE EN I8fi«
( voir ^ SU);
Pau m Chables KESSLER.
Trouver l'intersection d*un cène de révolution par un plan. Si par tous les points de F intersection on élève des normales au cône, chacune de ces normales perce la surface en un second point. On demande la courbe formée par ces points (*).
Solution géométrique. On sait que la section peut être
(*) La surface formée par les normnies est du siiième de^. T«.
Tune quelconque des trois courbes du second d^ré. Soit M Tun des points de l'intersection, AS6 plan méridien passant par M ; 6 = ASB.
La normale en IVl à la surface sera perpendiculaire à la génératrice SB, et rencontrera SA en M^, par exemple ; car dans une surface de révolution le plan tangent est per* pendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact. M' est un point de la courbe cherchée, et Ton a
^ cosB
Donc les rayons vecteurs de la courbe des M' sont propor-, tionnels aux rayons vecteurs correspondants de la section, donc la courbe est la même que celle qui serait faite par un plan parallèle à celui de la section d^urie distance du sommet S marquée par le rapport précédenl; la courbe est donc de même nature que là section ^ algébriquement parlant, elle lui est semblable: ses sommets sont sur les mêmes génératrices, son plan est perpendiculaire à ASB. Si Ton opère le développement du cône en le coupant d'abord suivant SB) puis en le coupant suivant SA., quo dans le développement on superpose SA et SB, les déve« loppées des courbes sont semblables.
THÉORÈNB SUR LE TRIANGLE GIRGONSGRiT A UN CERCLE,
Par m. Joskpr UARCOURT,
Professeur à Neiiwry ( Irlande ).
Théorème, Un triangle étant circonscrit à un cercle, ou mène une quatrième tangente quelconque \ des sommets du triangle on abaisse des perpendiculaires sur cette quatrième tangente. On multiplie chacune de ces perpendiculaires par le côté du triangle opposé au sommet
(438) (l^ou pari la perpendiculaire; la somme algébrique àes trois produits est égale au double de Taire du triangle.
Démonstration (communiquée par M. Le Besgue) (*), A chaque sommet appliquons une force proportionnelle au côté opposé du triangle ; lorsque les trois forces sont parallèles , le centre du cercle inscrit au triangle est le centre des forces parallèles, et le périmètre du triangle représente la résultante; prenant les moments par rapport à la quatrième tangente, on a la propriété énoncée; une propriété analogue existe pour le tétraèdre en remplaçant les côtés par les aires des faces.
La démonstration anal} tique ne présente aucune difficulté.
BÉHONSTRATION DU TBÉORÈNB III BE H. KAGBL
(TOlr p. M4 } ;
Par m. HOUSEL,
' Professeur.
Lemme. Si Ton divise en parties égales les angles d'un triangle, ainsi que les suppléments de ces angles, pour avoir le centre du cercle inscrit et ceux des cercles exinscrits, ces bissectrices étant évidemment perpendiculaires deux à deux, on sait que le triangle formé par les trois derniers centres a pour hauteurs les bissectrices intérieures ; de là résulte le théorème connu :
Les hauteurs d'im triangle sont bissectrices du triangle formé en réunissant les pieds de ces hauteurs.
Tbêo&ème. Dans un triangle, les lignes qui joignent les pieds des hauteurs sont respectivement perpendi-culaires aux rayons qui joignent les sommets a\^ec 'le centre du cercle circonscrit,
(") Retourné à Bordeaux. Tm.
(439) Pour le faire voir, soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, et représentons respectivement par ce, P, y les angles à la base dans les triangles BOC, AOC, AOB, ce qui donne
«=i9o»-.A, p = 9oo-B, 7 = 900 — C. Maintenant, soient A', B', C les pieds des hauteurs
et
correspondant aux sommets A, B, G, nous savons qu'une hauteur AA' est bissectrice de Tangle A', et CC de l'angle C.
Soit H le point de concours de ces hauteurs, et considérons le quadrilatère BA'HCdans lequel les angles opposés en A' et en C sont droits; donc A'HC=i8o — B.
Mais d'après le lemme, nous savons que dans le triangle A'HC/ la droite HA' est bissectrice de Tangle A' du triangle B'A'C; de même HC est bissectrice de l'angle C.
Donc, dans le triangle où Pangle A' HC = A-h C,
d'où
1 h A -hC = i8o,
On aura de même
B'-HC==2A= ï8o«— 2a=l8o»— A'f
par conséquent
Ainsi nous voyonsque les angles OBC = a et C'A' ff = —
sont égaux; mais déjà le côté BC de Tun de ces angles est perpendiculaire au côté HA' de Tautre angle : donc leurs c6tés OB et C'A' sont aussi perpendiculaires; on verrait de même que B'C et B'A' sont respectiTcment perpendiculaires à OA et à OC. g. q. f. d.
Il est facile de reconnaître que ce qui préi ède revient au théorème III de M. Nagel. En effet, le centre du cercle circonscrit à A' B'C est, comme on le voit, celui du cercle des neuf points par rapport à ABC; donc, par un théorème connu, ce point est au milieu de la droite OH. A, B, C sont les centres -extérieurs des cercles qui tou* cbent les côtés du triangle A' B'C
Note. Dans le théorème I, il faut lire contacts extérieurs et non intérieurs. Tic»
APPUGATIOR DES DÉTERMnANTS AD CONTACT DES CERCLES ET DES SPHÈRES;
D'apeès m, C.-W. BAUER (•),
Trois cercles.
