h2/r,-f-2*„ H-2rr34-2^„ -^2r3(r-hrj

Écrivons à gauche une colonne de quatre zéros, et en tète la ligne horizontale

nous aurons un nouveau déterminant de 25 éléments, ayant même valeur que le précédent, à cause des quatre zéros; dans ce nouveau déterminant, multipliant cette première ligne par r, on a

ajoutant cette ligne à la deuxième ligne, savoir à

on obtient

-4-r, -f-i, — 2rr,, — 2rr,, — a/Tj,

Ce nouveau déterminant sera toujours nuL

Multipliant successivement la même première ligne par — Ti, — Tf, — Ts, et ajoutant respectivement à la troisième, quatrième, <;inquième ligne de (A), on obtient

' -h r 4-1 — 2rr, — arr* — arrg

— r, -f-i -t-arî -f-aX-., 4-2X-,5 = o.

— /•a -4-1 H-2X„ -♦-2*a3 -h 2 rj

Mettant i^ la seconde colonne à la place de la première, et vice versé ^ a'' divisant par r les termes de la première et seconde ligne ; 3^ par 2 les colonnes troisième, quatrième et cinquième, on obtient

- -Hi

Ejffectuant ce déterminant, on obtient - en fonction de

'ïj ^%'i 'a> ce qu'il fallait trouver. Le développement s'obtient facilement, les termes -? + i, +1, +1, donnent chacun a4 termes; ainsi tout au plus 96 termes \ on voit qu'il suffit de calculer les termes provenant de - et de + 1 •

(") Je ne sache pas qu'on ait déjà trouvé r en fonction des tron autre» cayou» r,, r,, r.i

En faisant varier les signes de Ti, Tf, r», on obtiem les huit solutions que comporte le problème, r est donné par une équation du second degré; une des racines se rapporte à un mode d'attouchement, correspondant aux signes de Ti, Tf, Ta, et l'autre racine se rapporte au mode d'attouchement correspondant à des valeurs de ri, rs, rg, avec des signes opposés ; car on voit d'après le déterminant (A) que l'équation ne change pas en changeant simultanément les signes de Tj, rt, r^, et ceci, combiné avec la relation entre le coefficient du second terme de Téquation et la somme des racines, donne le théorème suivant, dû à M. G.-W Heame. ♦

Appelons rayon réciproque d'un cercle l'unité divisée par le rayon de ce cercle.

Soient :

— le rayon réciproque du cercle qui est touché extérieurement par les trois cercles donnés;

^ le rayon réciproque du cercle qui est touché intérieurement par les trois cercles donnés \

2«" 1* somme des rayons reciproques.de cercles qui

sont touchés extérieurement par un des trois cercles donnés \

2 »" ï^ somme des rayons réciproques de cercles qui

sont touchés extérieurement par deux des trois cercles donnés.

On a

Ra^-^R. R. -^R,

5. Cas où les trois cercles donnés se touchent mutuel^ lement. Dans ce cas al„ = (/„, -+- r„)% donc k^^ = — r^r^.

(445 ) Divîsanl respectivement par r,, /*«, r, les dernières ligues horizontales, et ensuite par /'j, /'t, 73, respectivement les trois dernières lignes verticales (à droite), on a

EfTectuant, on trouve

ou bien

[I 1 I I . I il 1 1 H H 1 1

formule qui peut ainsi servir à trouver trois cercles qui se touchent mutuellement et touchent un cercle donné.

Quatre sphères.

6. Soit le tétraèdre Ai At A9 A4 ; d'un point O on mèmf les droites OAi , OAf , OA», OA4.

Coordonnées rectangulaires,

'm rn «I de A, ^u /»» «1 <le A,

^4, r4, 2« de A,

o, o, o d^; O origine.

Posons

d'où

On a

a (j-, r. ^jr^jr^-+. «. 3.) = ^i H- /ij — .li^.

'.'•-+■ Ti j, -h «,«, 't't-*-^tr,-4-«,«, *î -t- ri -+- «5 '.»4-+-^.^-H«,«4

'l'4H-^i^*-+-«l«4 'l'4-+-r,r4-4-»i«4 '.*4-*-^«^4H-«.«4 '2 "*- Xj H- «J

A l'aide des équations (i), on change ce déterminanl en un autre dans lequel il n'entre que des a.

7. Lorsque les sphères des rayons r touchent les sphères des rayons r^^ r^, r^y 1*4, on a

posons

'm "T" ^n ^~ ^mn — ^ A'mn y

et opérant comme ci-dessus, on trouve Gnalemcnt

-Hi

-h^tt

-f-rî

-hX-.4

-h Xi4

Le développement, abstraction faite des réductions, donnerait 600 termes.

Les divers signes des rayons donnent les seize solutions qae comporte le problème.

Cas où les quatre sphères données se touchent.