LEIBNIZ

Dans une Lettre de Leibniz à I/Hospital, datée de Hanovcr (sic) 28 avril 1693, et insérée dans le t. II, p. 238-241 des Leibnizcns mnllicmatische Schriften, édités par C.-L Gerhardt, Berlin , i85o, on lit :

« Puisque vous dites que vous avés de la peine à croire qu'il soit aussi gcneral et aussi commode de se servir des nombres que de lettres, il faut que je ne me sois pas bien expliqué. On ne sçaurait douter de la généralité en considérant qu'il est permis de se servir de 2, 3, etc., comme de a ou de ft, pour veu qu'on considère que ce ne sont pas des nombres véritables. Ainsi 2.3 ne signifie point 6, mais autant qu'ai. Pour ce qui est de la commodité de l'épreuve par des nombres^ et même par l'abjection du novenairc, j'y trouve un très grand avantage même pour

(.8) ravaiicemcnt de Tanalyse. Comme c^est une ouverioi'e assez extraordinaire, je n'en ay pas encore parlé à d^auires, mais voicy ce que c'est. Lorsqu^on a besoin de beaucoup de lettres , n'est-il pas vray que ces lettres n'expriment point les rapports qu'il y a entre les grandeurs qu'elles signifient, au lieu qu'en me servant des nombres je puis exprimer ce rapport. Par exemple soyent proposées trois équations simples pour deux inconnues à dessein d'oster ces deux inconnues, et cela par un canon gênerai. Je suppose

et

(2) 20 -h 2iar-+- 22/= O

et

(3) 3o -h 3ix -h 32^ = o,

ou le nombre feinst estant de deux characteres, la première me marque de quelle équation il est , le second me marque à quelle il appartient (^). Ainsi en calculant on trouve par tout des harmonies qui non seulement nous servent de garans, mais encore nous font entrevoir d'abord des règles ou théorèmes. Par exemple ostant pre-

(*) Ces équations diaprés récriliirc actuelle sont

Biimiuunl ^, , x,, on a le dèlcrminaot

que trouve Leibniz j il Tait celte opération par lu voie ordinaire des multiplications.

( ^9) mieretneut y par la première et seconde equaiiou, nous aurons

et par la première et troisième nous obtenons

.^ l -H 10.32 -h ii.32ar 1

où il est aisé de connoistre que ces deux équations ne différent qu'eu ce que le charactere antecedant 2 est changé au charactere antecedant 3. Du reste, dans un même terme d'une même équation les characteres anteccdauts sont les mêmes et les characlercs postérieurs font une même somme.

» Il reste maintenant d'oster la lettre x par la quatrième et cinquième équation , et pour cet eilect nous aurons

qui est la dernière équation délivrée des deux inconnues qu'on voulait oster, et qui porte sa preuve par soy par les harmonies qui se remarquent par tout, et qu'on auroit bien de la peine à découvrir en employant des lettres a, 6, c, surtout lors que le nombre des lettres et des équations est grand. Une partie des secrets de l'analyse consiste dans la caractéristique, c'est à dire dans Tart de bien employer les notes dont on se sert, et vous voyés. Monsieur, par ce petit échantillon, que Victe et Des Cartes n'en ont pas encore connu tous les mystères En poursuivant tant soit peu ce calcul , on viendra à un ihcoreme gênerai

(*) Ici Leibniz écrit le second caractère sous la forme actuelle (rindicc.

( 3o ) pour quelque nombre de lettres et d'équations qu'on puisse prendre. Le voicy comme je Tai trouvé autre fois :

)> Datis œqualionibus quotcunque sufficientibus ad tollendas quantitates, quœ simplicem gradum non egre-diuntur, pro œquatione prodeuntê, primo sumandœ sttnt omnes cotnbinationes possibiles, quas ingreditur una tantum coefficiens uniuscujusque œqualionis^ secundo y eœ cotnbinationes opposita habent signa, si in codent œquationis prodeuntis latere ponantur, quœ habent tôt coefficientes communes y quot sunt unitates in numéro quantitatum toUendarum unitate minnto^ cœterœ ha^ bent eadem signa (*).

» J'avoue que dans ce cas de degré simple on auroit peut estre découvert le même théorème en ne se servant que de lettres à l'ordinaire, mais non pas si aisément, et ces adresses sont encore bien plus nécessaires pour découvrir des théorèmes qui servent à oster les inconnues montées à des degrés plus hauts. Par exemple pour oster la lettre x par le moyen de deux équations dont l'une est de trois degrés et l'autre de deux, je suppose

I o j:^ -f- 1 1 •'•• -h 1 2^ 4- 1 3 = o et

20x' -h 2 1 ar 4- 22 = o,

OÙ le caractère antérieur du coefficient marque le degré dont il est coefficient, en remplissant la loi des homogènes {*'^) , ce qui sert à les observer dans tout le pro-

(*) Tous les tenues étant dans le môme membre, le nombre des inconnues étanl tty les termes qui ont en commun n— a coefficients ont des signes opposés et les autres ont même signe.

(* *; Cela revient à

fl,oJ^'-*-fl,iXH-fl„ = o; la somme des indices et des exposants est toujours !\.

(3. ) grès de Topéralion. Dans les équations plus hautes, pour mieux s'assurer du raleul, on peut au lieu du dernier terme prendre un nombre tel que réqualion donueroit eu prenant x pour Tunilé ou pour quelque nombre véritable, par exemple au lieu de

I0.r* -I- II x' -h I2.r-f- i3 = o,

on pour roi t écrire

prenant x pour lo, pourveu qu'on se souvienne que II220 signifie un solide ou une grandeur de trois dimensions ('*')', ainsi le calcul se vérifiera toujours en nombres véritables et se pourra même examiner à tout moment par Tabjection du novenaire, ou de Tondenaire, et neantmoins les harmonies paroisiront par tout substituant i3 pour II220. En calculant ainsi on trouvera des théorèmes et on dressera les tables que j'ay souhaittées. On voit aussi par là une chose que j'ai indiquée déjà dans les occasions, c'est que la perfection de l'analyse dépend de Tart des combinaisons qui est proprement la spécieuse générale (**). »

La réponse de FHospital est datée de Paris, i5 juin 1693:

« C'est avec un plaisir sensible, Monsieur, que je reçois vos lettres , j'y trouve toujours des vues nouvelles auxquelles personne n'avoit encore pensé. La manière

(*) Pranant on prend pour terme tout connu

(*>*) Spécieuse dans le sens do Viète, et signifie U représentation figurée de quantités.

(lonl vous vous servez dos nombres au lieu de leUres dans les cqua lions pour en liror ensuite des règles ou llicoremes est 1res ingénieuse, et comme l'analyse n'est que Tari d^abbreger les raisonnements et de représenter tout d'une vue à Tesprit ce qu'il ne pourrait appercevoir autrement que par un long circuit, il est certain que les caractéristiques en font la principale partie. Je ne doute pas que celle dont vous vous servez pour exprimer la situalion des angles et des lignes, et que vous appeliez caracteristica siius, ne contienne quelque chose de très beau et de 1res utile. Vous m'en eclaircirez davantage quand vous le jugerez à propos*, je crois avoir ouï dire que vous aviez aussi imagine une espèce de caractéristique pour servir à composer des machines de mécanique, cela peut estre d'un grand usage dans cette science qui n'est pas encore arrivée à la perfection (*). »

Ainsi l'origine des déterminants remonte à 1698 {**)^ c'est un nouveau bijou dans le splendide écrin immensément riche de l'auteur de la hiérarchie et de la caractéristique infinitésimales. Il a découvert non-seulement les déterminants de Cramer (1750), mais ce qui encore est plus essentiel , la caractéristique de Vandermonde (1772) ; l'admiration est au comble quand on entend l'illustre prophète proclamer, deux siècles d'avance, la haute position de cette caractéristique combinatoire dans toute l'analyse , position qui n'a été révélée que de nos jours.

Si l'on me demandait quelle est Tintelligence la plus intense en profondeur, la plus universelle en directions,

(*] Se trouve dans une lettre à HuyghenB datée de Hanovre, 8 septembre i679(GEaHARDT, t. H, p. 20). M. Babbage a inventé quelque chose d*analogue pour les machines.

{**) Date malheureusement trop mnémonique.

(33) dont Dieu ait gratifié la terre, depuis l'apparition de l'homme, je répondrais, sans hésiter : Leibuiz.

Les esprits sérieux, amis des fortes méditations, doivent une vive reconnaissance à MM. George Henri Per* thés, C.-I. Gerhardt et à notre compatriote le comte Foucher de Careil. Il est i désirer qu'on Toulût bien pour la partie mathématique consulter quelque géomètre /et* tré. Lorsque dans ce siècle utilitaire on rencontre un homme votant à la science abstraite ses veilles, sa for- ' tune , c'est découvrir inopinément une source vivifiante au milieu d'un Sahara-, nouvelle gloire que la France peut ajouter à Unt d'autres.

Inter scabiem lantam et coniagia lucri Nil parvum sapit tt sempcr sublimia carat.

(HoEAT, Epist, XII I lib. I, ad Icciuni.)

BiBUOGRAPHIL

SULLA GEOMETRIA ÀNALITIGA DELLB LrNfiE PlANE. OpUSColo

di Giuseppe Saccfiï, dottore in matematica. Pavia, i854', in-8 de viii-i3i pages; i planche lithographiée.

En i85o, le célèbre Bordoni, dont la science déplore la perte récente (*) , après quarante années de service universitaire prit sa retraite, et M. Sacchi le remplaça comme suppléant dans la chaire de Géodésie et d'Hydro-

(*) Le a6 mars 1860. U a appliqué le calcul des probabilitéB aux eia*> mens univenitaires. Nous ferons connaître ce Mémoire, si nous parrenons à nous le procurer. Jouissant d'une haute réputation au delà des Alpes , il est complètement inconnu en deçà. L^abbé Julien est le premier et le seul géomètre français qui Pait cité dans ses excellents Problèmes de Mécanique rationnelle.

Bulletin mathématique, t. VI. ( Mai 1 860. ) 5

( 34 ) tnéirie. Il fit ce cours pendant huit années et enrichit la collection d'instruments appropriés à ce cours. Deux fois Bordoni le proposa an gouvernement autrichien pour être nommé définitivement; mais s^étant attiré Tanimadversion de ce gouvernement, il fut éloigné de Pavie et on le nomma professeur au lycée dit de Porte-Neuue à Milan, dont le directeur était commissaire de police. Occupant encore la même position, il est permis d'espérer que sous le régime actuel on réparera cette longue injustice, et (fh^on replacera M. Sacchî à Funivcrsité de Pavie, position où rappellent ses talents et qui est aussi dans Fintérèt de renseignement. L^analyse suivante est une pièce justificative.

Beaucoup de systèmes de coordonnées ont maintenant cours dans l'enseignement. Pour chaque question, il faut savoir discerner le système qui facilite la solution. Souvent même il convient d'imaginer un système approprié à la question. Lorsqu'une fonction représente une ligne sur une surface donnée et que la même fonction représente une ligne sur une autre surface donnée, mais ces coordonnées ayant une signification différente, alors beau-, coup de propriétés d'une de ces lignes peuvent se transporter sur Tautre. Ainsi la fonction ay H- ftjc -f- c représente une droite sur un plan et un cercle sur une sphère, mais les coordonnées étant des fonctions transcendantes des tangentes d*arcs, les propriétés des droites sur un plan sont transférées sur les cercles de la sphère, conception de Gudermann qui a ramené la sphéromélrie à la géométrie plane (*)* Découvrir de semblables connexions à Taide d'autres fonctions transcendantes pour chaque surface, est la besogne de Tavenir.

On peut aussi imaginer un système de coordonnées et réunir une suite de problèmes, comme applications. C'est

(*) Voir dans les Nouvelles Annales les travaux instructifs de M. Vannson.

(35) ce qu'a exëcuté avec talent le savant auteur de cet opuscule, titre modeste qui tient plus qu'il ne promet.

Soit ÂMB un arc de courbe plane*, d'un point Gxe O, considéré comme pôle, on abaisse une perpendiculaire OP sur la tangente à la courbe menée au point M^ on prend pour coordonnées OP et le rayon vecteur OM; Téquation d'une ligne est une relation entre ces deux lignes, et l'auteur établit quinze relations fondamentales qui facilitent l'emploi du système. L'utilité de ce système ressortit surabondamment des applications suivantes, qui en montrent la fécondité et très-souvent l'élégance.

Soît OA un axe polaire (A est sur la courbe) ; OT une perpendiculaire à OM et terminée à la tangente en M, de sorte que T est sur la tangente. Prolongeons la perpendiculaire TO jusqu'à ce qu'elle rencontre en N la normale menée en M et qui est parallèle à OP.

Notations.

0P = /?, MP = y, OM = r, POï=aa, TMO=p, MOA = «, MN=N, MT = T, R =r rayon de courbure en M , s = Tare AM , A = aire du secteur AOM ;

les accents désignent des dérivées par rapport à une variable quelconque, à moins qu'on ne la dénomme expressément. On a