VI
I( r — 6 )* = a" co$/i »,
m = — I , /î = I , conchoide de Nicomètlc , iit = /i = I.
Remplaçant a et & par aa, 2 6, on obtient
conchoïde circulaire.
Faisant
2b = Éf,
on a le limaçon de Pascal , et
b=za^ ^ap^ = r^, cardioïde.
Faisant dans (/)
^ s= o, m = -- I , spirale de Cotes^
6 = 0, m = 1 rhodoracées de Grandi ,
/4» — a7*«(é" — o^cosmoi») H- tf*" =r o,
m = I9 ovales de Descartes ou aplanétiques ;
Propriété fondamentale r -f- /irj = A 5
r et Ti distance d'un point à deux foyers \
n, A constantes.
m = I, « = o, conchoïde circulaire;
mszi, e = o, b = a^ cardioïde ;
( 39 ) a = &, e = o, « = db I , conique.
Posant
il vient
(^3) 7.d^pr^-^ = r"" 4- c^ — a*",
m entier positif; c'est le lieu d'un point dont le produit de ses distances acix sommets d'un polygone régulier de m côtés est constant, a est le rayon du cercle circonscrit au polygone, et l'origine est au centre de ce cercle \ le produit constant est c~. Si m est négatif, l'équation est telle du lieu d'un point dont le produit des distances aux sommets d'un polygone régulier de m côtés est égal i la mf'"^ puissance de la distance de ce point au centre du cercle circonscrit au polygone régulier : cassinienne à m foyers.
m = 2, ellipse cassinienne;
Si c = a, m = I, lemniscate de Bernoulli ;
m = — 1 une droite;
m = — a, l'hyperbole équilatère;
m = - » cardioïde ;
m = ) parabole -,
m = o, spirale logarithmique ;
m = ^1 lieu du sommet d'une parabole touchant le
cercle de rayon 4^ et ayant pour origine le foyer, point Bxe placé sur la circonférence \
m= — ^9 caustique par réflexion de la parabole, les
rayons incidents étant perpendiculaires à Taxe ;
//i = ^, podaire du centre de la lemniscate.
Équation de Vjépilrochoîde.
a = rayon du cercle fixe ;
b = rayon du cercle se mouvant extérieurement sur le cercle fixe ^
m = — j — 9 c*=zd* — i", distance du point décrivant
M an centre du cercle mobile , Torigine est au centre du cercle fixe.
On parvient k cette équation directement, en considé*-* rant que N étant le point de contact des deux cercles correspondant à une position donnée du point M, MN est une normale à la courbe de cercle.
Changeant i en — &, on a Téquation de VfrypotrO"
choïde, cercle mobile intérieur.
Faisant
a= 6, /If =: a,
on a une conchoïde circulaire dont Torigine est au centre du cercle.
Si // = i, on a les épîcycloïdes.
Le chapitre IV traite des asymptotes, rayons de courbure, points d'inflexion, de rebroussement.
p Sous-tangentc = — ]
si donc pour r = ±: oo , ^ a une valeur finie réelle^ il y ^ des branches infinies.
Dans les coniques
R = — ^> origine au centre.
Dans Thyperbole équilatère
Dans la strophoïde (c»)
4£i« 3r»-ha»
Ainsi cette ligne n^a ni points d'inflexion ni points de rebroussement.
Le chapitre Y traite des développées, développaptes , trajectoires.
Soient r, p, q^ a [voir ci-dessus) les quantités relatives à un point d'une courbe donnée*, r^^px^ (]x^ ai les quantités correspondantes au point de la développée , on a [voir ci -dessus)
ir dp, dq
et, à l'aide des relations (I) et (VIII),
Eliminant r et p^ on obtient l'équation de la développée en Tj etpi;
Eliminant ^i, r,, on obtient l'équation de la développante.
Exemples :
p=.mr^ spirale;
/?, = /wr, , développée ; si l'on a
4/w/?' = (/w -i- i)'{/'— fl*), épicycloïde,
lîuUetin mathématique, t. VI. (Juin 18G0.) 6
on obtient
4«.pî = (. + ,)«[.î-(^)a.],
développée, seconde épicycloide;
a =: tf I • 0 = 0,,
rayons du cerple fixe et du rayon mobile. Si donc
la développée est une cycloïde égale h la cycloïde développante^ de même pour la spirale logarithmique.
Trajectoires.
Soit Féquation d'une ligne
ç(r,,/>.)=roî
faisons-la tourner dans son plan autour de son origine O
et soit
Féquation de la trajectoire qui coupe ces lignes sons un angle constant dont le sinus est égal à m. On a, diaprés un théorème projectif,
Pi =p v^i — fli' -+- gm ; petq ont même signification que ci-dessus ^ d'où
Exemples :
faisceau de droites passant par l'origine; la trajectoire est p =r mr^ spirale logaiithmique;
faisceau de cercles concentriques; trajectoire pz=zr^i — ntS spirale logarithmique ;
faisceau de spirales d'Archimède; trajectoire
p^{^à* H- H) = H [ma -*-r^i — w'), spirale logarithmique.
Si
m = I, OU a
OU
/uri + nr% = a, ovales de Descartes \
r, , r, rayons vecteurs allant à deux poinu Bxes;
a paramètre variable.
L'équation de la trajectoire orthogonale est
un§f" - 1*1 ung" -*- 04 = A
(pour ci> t^oir ci-dessus).
Si
l'ovale devient une conique et la trajectoire une conique confocale.
Note. Nous venons de recevoir les Mémoires de Rordoni, ainsi que les Manuels anglais publiés par les Rév. Galbrailb et Haughton -, on en rendra compte.
Traité de Perspective-relief, par M. Poudra^ iii-8 de 2a4 pages; i86o«
La perspective-relief est une application nouvelle de la géomëtrie. Cette science s'adresse à tous les arts d'imitation. L'ouvrage a reçu de rAcadémie des Sciences un accueil favorable; Tauteur a cru devoir en conséquence placer en titre, comme introduction, le Rapport instructif fait à celte Académie par deux de ses membres, MM. Poncelet et Chasles.
Les sculpteurs y trouveront des principes extrêmement simples pour la construction des bas-reliefs ; tout est ramené à la construction de trois perspectives planes sur les faces du parallélipipède qui doit contenir le bas-relief.
Les géomètres y trouveront les formules qui ser?ent à payer des coordonnées d'un pointa ceux du point homologue.
On y expose ensuite les principes sur lesquels repose le tracé des décorations théâtrales; ces coostructions sont un résultat de l'alliance de la perspective plane à la perspective-relief. Ces principes n'avaient jamais été exposés et ne pouvaient l'être avant que cette dernière science fût connue. On en tire quelques applications aux dioramas et panoramas et aux décorations dans les fêtes publiques.
Comme application à Tarchitecture, on y expose une théorie des apparences donnant une appréciation des causes diverses des illusions de la vue; l'auteur en déduit quelques principes sur la décoration des monuments et sur la position à leur donner pour rendre leur apparence agréable à la vue; il appelle l'attention des architectes sur ce sujet, qui peut faire éviter des erreurs de construction toujours fort dispendieuses à réparer.
Des applications de la perspective-relief à la décoration des parcs et jardins terminent l'ouvrage (voir Noui^elles jinnales^ t. XVI, p. 107).
