AD

AO

) devient

ÂB'=r

2X2ADX— ,

Âb'

= 2AD X Aa

ou

Les premiers membres des égalités (i) et (3) sont tes mêmes. Les seconds sont donc égaux, c'est-à-dire que

2RXAD=2ADX AO; donc ^

R = Aa (♦)

- U^ Problème. Construire le côté du décagone régulier inscn't en ne se sentant que du compas, {Comice Masche-* roni. )

Note, Ces deux problèmes m'ont été communiqués verbalement par M. Georges Delisle , avocat à la Cour de Caen , professeur de droit romain , doyen de la Faculté de Droit, auteur de deux ouvrages de jurisprudence trësf»8timés.

Jurisconsulte éminent, il s'était acquis une grande réputation par ses consultations, qui révélaient un esprit vaste et profond, et devant lesquelles s'inclinaient les magistrats.

(*) Résoin difTérammeoi par Mattcheroni {Géométrie du compas, p. i35 }«

Cel homme, qui faisait autorilé dans la science du droit, cultivait sérieusement la géométrie, afin, disait-il, de çonservçr k son esprit l'habitude des raisonnements précis et rigoureux.

Les deux problèmes difficiles dont nous venons de rapporter une solution si simple et si élégante , prouvent qu'i^ eut pu faire un mathématicien distingué.

Il connaissait le calcul infinitésimal et il se proposait d'étudier avec moi le calcul des variations, lorsque sa mort (arrivée en i854) Ten^pêcha démettre ce projet à exécution.

Cp. DiGUBT,

Professear de mathématiques pures et appliquées au lycée de Caen.

^LOTION lE^LA OUESnON 419

(roir tane XVII, page 81).

Le produit de cimf au de six r^o/nbres entiers consécutifs ne peut être un carré.

Je ferai d'abprd quelques remarques sur ta résolutioi^ çn nombre entiers de Téquation

(l) J?(x -h i) (jr-i- 2). . .(4? + «) =7'.

i . Tout dii^iseur commun k deux quelconques des nom • bres entiers x, (x-H i), (x-h a),..., (x-f-/i), devant di-. viseJT leur différence, est nécessairement Tun des nombres I, a, 3, 4,***9i'^* Pa<* conséquent, tout diuiseur premier commun à deux quelconques des nombres entiers X, (x 4- i) , (x -h 2) , . . . , (j: -f- /i) , est nécessairement Tun des nombres premiers 2 , 3 , 5 , . . . , /7 , en désignant par p le plus grand, des nombres premiers compris dani^ la suite x , 2 , 3 , 4 , • • m '^ •

(59) Que si le produît x (x -M) (x -h a) . . . ( jr -4- n) est un carré exact, comme le suppose TéquatioD (i), et qu'en outre Texposant de la plus haute puissance d'un nombre premier divisant l'un de ses facteurs soit impaire , ce nombre premier appartiendra à la suite 2, 3, 5,- . ., ^, car il devra diviser au moins deux des facteurs du produit; et de là je conclus que :

1**. Si un facteur du produit j? (a? -f-i) . . . (x-h /i) n'est divisible par aucun des nombres a , 3, 5 ,...,;?, il sera , par cela même , un carré exact.

a^. Si un facteur de ce produit n'admet comme diviseur qu'un seul des nombres premiers 2, 3, 5, ...,/?, il sera un carré , ou le produit d'un carré par ce nombre premier.

2. Aucun des facteurs or, (x4-i),(a:H-a),...,(j:-f- n)^. ne peut admettre comme diviseurs tous les nombres a y 3, 5 y ... 9 /7. C'est ce que je vais démontrer.

Supposons, en premier lieu, que l'un des deux facteurs extrêmes , par exemple x^ soit séparément divisible par a , 3, 5 , « • . , /;. Alors x -h i qui est premier avec x, n'admettant aucun de ces diviseui^s, sera un carré exact (1, i^). Et comme x est, par hypothèse, multiple de (a. 3. 5. .. p)j les facteurs x + a, x-h 4 seront divisibles par a , et n'auront pas d'autre diviseur compris dans la suite a , 3 , 5, .•../?. En outre , aucun des deux facteurs X -f- a , X -f- 4 n'est un carré , car (x -f-i) étant le carré d^un nombre entier plus grand que l'unité, tout autre nombre plus grand que x + 1 ne peut être le carré d'un nombre entier que s'il surpasse x -f- i d'au moins cinq unités. Il faut donc (1 , a^) que x+a, x + 4 soient des nombres entiers de la forme a a*, a&*, cequi exige qu'on ait i* — <i* = i . On est donc conduit à cetteconclusion que, si x était multiple de (a.3.5. . • ^), la

difTërence des carrés des deux nombres entiers &, a serait <$gale à l'unité. .• .

La même démonstration convient à l'autre facteur ex?

Quant aux facteurs intermédiaires a: + iyX+ii)«-«f (x-H/ï — i), si l'un d'eux, jc-f-i par exemple, était midr> tiple de (a .3 . 5 . . . p)^ les deux facteurs Jtr, x-f- a qui le comprennent seraient des carrés (1, i®), ce qui est évidemment impossible, puisqu'ils- diffèrent seulement de deux unités.