DISCOURS PRONONCÉ LE 8 FÉVRIER

~A LA SÉANCE ANNUELLE DE L'cNIVERSITÉ IMPÉAIALE DE SAINT-PfiTERSBOCRG,

Par p. TCHÉBYCHEF (*).

Messieurs,

Les sciences mathématiques, dès la plus haute antiquité, ont attiré l'attention d'une manière spéciale; de nos jours elles ont acquis encore plus d'intérêt par leur influence sur les arts et l'industrie. Le rapprochement de la théorie avec la pratique donne de très-heureux résultats, et la pratique n'y gagne pas seule; les sciences elles-mêmes se développent sous son influence: elle fait * découvrir des objets nouveaux de recherches ou des faces nouvelles dans les sujets connus depuis longtemps.

Malgré le haut degré de développement auquel sont parvenues les sciences mathématiques par les travaux des grands géomètres des trois derniers siècles, la pratique dévoile clairement leur imperfection sous beaucoup de rapports; elle pose des questions c ssentiellcment neuves pour la science, et provoque ainsi la recherche de méthodes entièrement nouvelles. Si la théorie gagne beaucoup aux nouvelles applications d'une vieille méthode ou à ses nouveaux développements, elle doit encore acquérir davantage par la découverte de nouvelles méthodes, et dans ce cas la pratique est pour la science un guide sur.

(*) Traduit du russe par M. Mention.

Bulletin malhématique, t. VI. (Juillet i86o. ) 7

L'aciivilé pratique de Thomme offre uiieexirêine dlver^ site, et pour en satisfaire toutes les exigences, le défaut de méthodes nombreuses et variées se fait sentir dans la science. Une importance parliculière s'atlache aux méthodes-que nécessite la solution des aspects divers d'un même problème général, savoir: Comment disposer de ressources données pour en retirer le plus grand profit possible ?

La solution des problèmes de ce genre constitue Tobjet appelé théorie des maximums et minimums. D'un caractère purement pratique, ces problèmes ont une importance particulière pour la théorie^ ils se rencontrent dans toutes les lois déterminant le mouvement de la matière, soit pondérable, soit impondérable. Il est impossible de ne pas reconnaître leur influence salutaire sur le déve*^ loppcment des sciences mathématiques.

Jusqu^à Tinvention de l'analyse infinitésimale, on ne , possédait que des cas particuliers de la solution de pareils problèmes ; mais ces solutions renfermaient déjà le germe de la nouvelle cl si importante branche des mathématiques, connue sous le nom de Calcul differentieLVonr montrer Tinfiluence des questions de maximum et dé minimum sur cette découverte, je rapporterai ici le passage du célèbre ouvrage de Newton, PhUosophice naturalis principia mathematica, où il parle de l'origine d'une découverte, dont les applications et les résultats sont aujourd'hui innombrables .

«Il y a dix ans (en 1677) , quand je correspondais avec le très-savant géomètre Leibnilz, je lui écrivis que j'avais une méthode pour la détermination de« maxùna et minima, pour mener les tangentes et résoudre d'autres questions analogues, et que cette méthode pouvait être employée avec la même facilité pour les équations tant irrationnelles que rationnelles. Je cachai alors ma méthode sous des

lettres transposées, dont le sens était le suivant : « Une w équation renfermant un nombre quelconque de quanti- » tés fluentes, trouver la fluxion et réciproquement. » A quoi l'illustre Leibnitz répondit que, de son côté, il avait trouvé une méthode semblable, et il me la communiqua dans sa lettre même. Cette méthode se distinguait de la mienne seulement par la dénomination et la notation. )> (Remarques sur la 7* proposition du 2® livre, édition de 1713.)

Mais la découverte du calcul différentiel et la solution de problèmes analogues à ceux qui y avaient conduit, n'épuisaient pas complètement le sujet; les recherches de Newton lui-même le manifestèrent: la question, qu'il résolut, de déteiminer la forme d'un corps qui, se mouvant dans un fluide, rencontre la moindre résistance, offrit un problème de maxima etminima^ essentiellement distinct de ceux pour lesquels on avait employé le calcul différentiel. La méthode générale pour résoudre les problèmes de ce genre, important surtout en mécanique analytique, conduisit encore à la découverte d'un nouveau calcul , connu sous le nom de Calcul des variations.

Malgré un tel développement des mathématiques, relatif à la théorie des maximums et minimums^ il est aisé de remarquer que la pratique va plus loin, et exige la solution de problèmes sur les maxima et minima^ encore d'un nouveau genre, essentiellement distinct de ceux qui ont recours aux calculs différentiel et des variations.

Comme exemple de semblables questions et de leur résolu tion, nous pouvoirs présenter nos recherches sur le parallélogramme de Watt, imprimées dans les Mémoires des Savants étrangers de noire Académie pour 1 854- Par les résultats auxquels nous sommes parvenu, en examînantja méthode nécessaire pour déterminer la meilleure construction des mécanismes de cette espèce, on voit que

daus ce cas les questions pratiques conduisent à beaucoup de résultats théoriques intéressants pour la science; que, des méthodes provoquées d'abord par la pratique, découle le moyen de résoudre de nouvelles questions théoriques, intéressantes même indépendamment de leur signification pratique (*).

Le tracé des cartes géographiques offre un autre exemple, particulièrement remarquable, de questions de ce genre. Daus Tétat actuel de la théorie des cartes géogra-

{*) Ainsi nous trouvons ici, entre autres choses, la solution de la question suivante : « Une fonction entière

*"-h Ax»"-' H-B Jc*"' -+- Cx" -h. . .-4- H

variant nécessairement avec x, quel sera le moindre degré de sa variabilité? B Et ensuite : a Par quelles valeurs de A, B, C,..., H attoint-elle cette limite? • La solution de ce problème fournit beaucoup d'intéressants résultats d'algèbre supérieure. Par exemple :

1®. Si Ton a l'équation

/•(x) = x"-hBx'— '-+-Cx''"'-f'...-+-H = o,

alors entre les limites ^et A + 4 \l ■> il se trouve au moins une

racine d'une des équations

Le signe du radical se détermine par celui de la fraction ^^ ■ Ceci est

d'une application importante dans la séparation des racines par la méthode de Fourier.

2^. Dans l'équation

:t'"-^'-t.Bx*— H-Cx»''-V...-+-Hx±:K = o,

il y a toujours une racine entre — 3 \/-« et =b a i/- y d'où résulte

cette propriété des équations :

Dans l'équation

x""-^' 4- B X*"-* -h Cx'"-*-h. . .4- H xdbK = o,

renfermant x à des puissances impaires, si K est compris entre— a et •■¥■ i, il se trouve, entre les mêmes limites^ au moins une racine.

phiques , on peut enseigner en nombre infini diverses mé* thodes pour leur tracé, de manière que les éléments trèspetits de la terre conservent dans la représentation leur véritable forme. Mais puisque, en outre, par la propriété de la terre d'être sphéroïdàle, l'échelle de représentation de ses divers éléments varie nécessairement, les éléments égaux, pris à des endroits différents, seront représentés sur la carte avec des dimensions différentes. Plus les changements d'échelle seront sensibles, plus inexacte sera la carte géographique. Et puisque la grandeur de ces variations d'échelle , sur l'espace d'une même portion de surface, est plus ou moins forte, selon la méthode de projection, la question suivante se présente naturellement :

Pow* quelle projection ces changements d'éclielle seront-ils le plus petits possible ?

Dans une Note que j'ai lue à l'Académie des Sciences, dans sa séance du 18 janvier, j'ai montré que ce problème, traduit en analyse, se ramène à un problème spécial de maximum et minimum , essentiellement distinct de ceux ^u'on résout dans les calculs différentiel et des variations. Ce problème ressemble à ceux qui ont fait l'objet du Mémoire précité sur le parallélogramme de Watt ^ mais il se rapporte à une classe plus élevée: là on cherchait quelques constantes, ici on demande de trouver deux fonctions inconnues , ce qui correspond à la détermination dVne quantité infinie de constantes. Cela établit entre ces problèmes une différence analogue à celle qui existe dans les problèmes du calcul différentiel et du calcul des variations. Sous le rapport théorique, cet objet est d'autant plus intéressant qu'il se ramène à la recherche d'une iéquation aux dérivées partielles, particulièrement remarquable, exprimant, entre autre choses, l'équilibre de chaleur dans lespla..jues infiniment minces. Ainsi, le problème sur les projections de cartes les plus

avantageuses est liée à cette propriété remarquable de la chaleur: Dans l'équilibre de chaleur d'une plaque circulaire infiniment mince, la température du centre est la moyenne de la température de tous les points de la cir* conférence; de même pour la sphère, la température du centre est la moyenne des températures à la surface.

La solution définitive de la projection la plus avantageuse pour les cartes est très-simple : la projection la plus avantageuse, pour représenter une partie quelconque de la surface terrestre, est celle dans laquelle aux limites de la représentation l'échelle conserve une même grandeur facile à déterminer, d'après la grandeur normale de Téchelle adoptée. En ce qui touche la détermination de la projection Jouissant de cette propriété, elle se réduit *au problème ordinaire dans lequel il s*agit d'intégrer une équation aux dérii^ées partielles , où la valeur de l'intégrale aux limites est donnée, limites entre lesquelles elle doit rester finie et continue.

Ainsi, pour la représentation de chaque contrée sur la carte, il n'y a qu'une projection la plus avantageuse. Elle se détermine par la position de la contrée par rapport à l'équateur et la forme de ses limites; en outre, les parallèles et les méridiens représentent diverses lignes courbes, mais généralement approchantes du cercle et de la droite, si Ton projette une petite portion du globe terrestre. Ces lignes se construiront par points sans aucune difficulté.

Les cas où les parallèles et les méridiens se transforment complètement en cercles ou lignes droites^ sont surtout remarquables*, cela facilite notablement le tracé des cartes de dimensions minimes. Lagrange, dans ses Mémoires Sur la construction des cartes géographiques (nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin, 1779) a déterminé toutes les projections où cela a lieu. En se fondant sur la

(55) propriété générale de la projection la plus avantageuse, il n'est pas difficile de montrer pour quels pays il conviendrait de s'en servir: les limites de ces pays se détermineront par les points pour lesquels Téchelle, dans ce genre de projection , conserve la même grandeur. Les limites déterminées de cette manière représentent généralement des courbes assez compliquées. Mais, à mesure que r espace décrit diminue, elles se simplifient et convergent rapidement vers des ellipses, tellement qu'elles ne diffèrent guère de ces lignes, pour la représentation de contrées assez étendues, comme par exemple la Russie d'Europe. Ces ellipses ont des positions connues, déterminées; leur centre se trouve au centre de projection 5 l'un des axes est dans la direction du méridien. Le rapport des axes de ces ellipses se détermine au moyen de la position du centre, relative à Téquateur, et d'une certaine quantité queLagrange appelle exposant de projection.

Réciproquement, pour la représentation de chaque partie du globe, assez petite et bornée par une ellipse semblable, on peut trouver la méthode de projection, suivant laquelle les parallèles et les méridiens seront des lignes circulaires ou droites, et qui donnera une représentation approchant de la réalité. Mais pour cela, d'après ce qui a été dit plus haut, le centre de projection et son exposant doivent être choisis d'une manière convenable, d'accord avec la position du pays et la forme des frontières (*). De là des méthodes particulières de projection,

(*} L'exposant de projection se détermine par la formule

OÙ l est la latitude du centre , n le rapport de Taxe dirigé suivant le méridien à l'autre axe. ( Voyet ma Note Sur la construction des cartes géogra^ phiques, lue à l'Académie le 18 janvier de la prétente année. )

(56) OÙ l'on conserve la similitude des éléments infiniment petits, telles que: stéréographique , polaire et horizontale, projection de Gauss etde Mercalor, qui se concluent toutes de la méthode générale par une hypothèse particulière sur le centre de projection ou Texposant. Elles ne peuvent donner une représentation approchant de Fexactitude que dans des cas particuliers connus.

Ainsi, si Tellipse ci-dessus mentionnée se transforme eu cercle, Texposant devient égal à l'unité, et la projection la plus avantageuse se réduit en général à la projection stéréographique horizontale, qui se transforme en polaire y quand le centre du cercle coïncide avec le pôle de la terre. A mesure que Taxe de l'ellipse, dirigé selon le méridien, diminue, la projection la plus avantageuse s'approche de celle de Gauss. Le centre s'approchant de Féquateur, cette projection devient celle de Mercator.

Il est clair, d'après cela, que, ayant en vue d'obtenir la meilleure représentation cartographique de pays différents , on ne peut se borner à un seul ou plusieurs des procédés particuliers, mais qu'il est nécessaire d'employer la méthode générale, en choisissant chaque fois convenablement et le centre de projection et la grandeur de l'exposant.

D'après ce qui a été dît plus haut , cela s'effectue aisément, par la projection d'une partie du globe dont les limites représentent une ellipse , avec un axe dirigé selon le méridien.

Mais la pratique n'offre jamais de cas aussi simples; les frontières des divers pays ont toujours la forme de courbes extrêmement irrégulières. Malgré cela, pour la meilleure représentation d'une contrée pas trop étendue, on peut déterminer la position du centre de projection et la grandeur de l'exposant, en comparant la forme des frontières a l'ellipse ou aux autres sections coniques.

(57) Pour cela il suiSt d'avoir une repi^sentation approchée du pays, pour la projection duquel on cherche le centre et l'exposant les plus avantageux, et à cet effet on peut employer une cai'te tracée par quelque méthode que ce soit. Â proprement parler, ici trois hypothèses sont à faire, qui donnent le principe de trois solutions distinctes^ mais, en le3 comparant entre elles, il ne sera pas difficile de trouver la plus avantageuse. i° On peut regarder la contrée à projeter comme une^ portion d'espace bornée par une ellipse, avec un axe dirigé selon le méridien ; pour les pays où la plus grande étendue en méridiens et parallèles se trouve presque opposée au centre , cela correspond toujours à la solution la plus avantageuse : ce cas se rencontre le plus dans la pratique, a^' On peut regarder la contrée à projeter comme une portion d^espace comprise entre deux ellipses , deux hyperboles ou deux paraboles semblablement disposées : cela peut donner la solution la plus avantageuse, seulement pour les pays recourbés en forme de faucille ou offrant une bande étroite inclinée sur les méridiens et les parallèles. 3^ Enfin elle peut être comparée à un espace compris entre les branches de deux hyperboles opposées : cela correspond aux contrées dont les frontières sont sensiblement courbées en face du centre (*).

(*) Pour un espace qai, dans la projection stéréographique horizontale avec le rayon =b i, est borné par l'ellipse

la limite des changèmcnls d'échelle (la différence entre la plus grande et

an*/.' la plus petite, divisée par Téchelle moyenne) s'exprime ainsi: -^ — — ;

pour Tespace entre les deux ellipses

ttullctin mathématique, t. VI. (Août 1860.)

En nous arrèianl-â la première hypothèse, qni com* prend la plus grande partie des cas qu'on rencontre dans la pratique, nous remarquerons que , parmi la quantité d'ellipses qui peuvent être décrites autour de la contrée à projeter, la projection la plus arantageuse se déterminera par la plus petite, si pour la comparaison des diverses ellipses entre elles nous adoptons la longueur de leur diamètre moyen, également incliné sur les axes.

D'après la forme des frontières, il n'est pas difficile de reconnaître les points sur lesquels cette ellipse s'appuiera, et par eux de trouver les axes et le centre. Le centre de cette ellipse sera le lieu le plus avantageux du centre de projection; la position de ce centre et le rapport des axes de Tellipse se détermineront au moyen de l'exposant le plus avantageux. Tout ceci se rapporte principalement à la représentation des contrées très-petites; mais pour les contrées étendues, d'après la méthode générale d'approxi*

celte limite égale -^ — ; — ^ ; entre les deux hyperboles

a» A»" ' a* b'" ' elle égale ■ ^ < ^ a» \ ' ^^^'^ ^^ ^^"^ paraboles

elle est é(^a1e li a ( a — a' } ; enfin dans Tespace entre les branches des deas hyperboles opposées

la limite du changement d'échelle ^ale ^J^ "^J^ • Cela résulte des dernières équations do la note plus haut mentionnée et est exact jusqu*à tang* - près, où h est la distance angulaire des points du poys projeté au point adopté pour centre de projection stéréographique.

(59) mation successive, il est aisé de trouver les corrections et pour la position du centre et pour la grandeur de Tex* posant. Ainsi s'obtiendra la méthode la plus avantageuse de tracé géographique d'un pays donné, dans lequel les parallèles et les méridiens restent des cercles.

On voit donc que le tracé des cartes géographiques appartient au nombre de ces questions pratiques, qui se résolvent diversement pour les diverses contrées*, que la méthode de tracé, avantageuse pour la France, TAIlemagne ou FAngleterre, peut être désavantageuse pour la Russie. En outre, par son étendue, la Russie offre des difficultés particulières dans la représentation cartographique; c'est pourquoi le choix de projection le plus en rapport avec son espace, la forme de ses frontières et sa position relativement à Téquateur, a une importance spéciale. Sans parler des cartes embrassant toutes les parlies de la Russie, les cartes de ses diverses parties présentent des variations d'échelle très-sensibles. Ainsi, en pro* jetant tout ce qui lui appartient du côté des monts Ourals par la méthode de Gauss, on admetdes variations d'échelle de plus de ^; ce qui, pour la mesure des surfaces^ donne une différence de un mille carré sur dix^ erreur très-sen* sible. Les erreurs deviennent moindres par la projection stéréographique horizontale, avec un centre convenablement choisi \ mais la différence d'échelle atteint 7;, ce qui fournit pour l'évaluation des surfaces une erreur de un mille carré sur dtx^sept. Ces erreurs ne so^t pas assez petites pour être négligées; le moyeu de les diminuer consiste à déterminer la projection correspondant le mieux à la forme et à la position du pays projeté.

En examinant sur la carte cette partie de la Russie, nous remarquons que dans le contour général de ses limites, elle est loin d'être une ellipse don t l'axe se dirigerait selon le méridien ; et, dans ce cas, comme nous l'avons vu, on ne peut

(6o) parvenir à la meilleure représentation, en conservant pour méridiens ou parallèles des cercles ou des lignes droites.

Simplifier ainsi la construclion de sa carte, ce serait diminuer sensiblement le degré d'exactitude de la représentation . Pour atteindre la représentation la plus exacte, il est nécessaire de déterminer, d'après ce qui a été dit plus haut, la méthode de projection, en intégrant une certaine équation . Puisque l 'intégration doi t être effectuée sous des conditions dépendant de la forme des limites et que ces limites présentent toujours des courbes compliquées, il s'entend que l'intégration exacte est impossible. Mais la pratique ne l'exige pas. Il lui suffit de se borner à des variations d*écbelle de dix-millièmes, et dans ce cas tout repose sur la détermination de certains coefficients qui, avec une précision suffisante pour la pratique, peuvent être calculés d'après la forme des limites, si recour* bées qu'elles soient. Quant aux parallèles et aux rnéri* diens, ils se construiront par points sans difficulté*

Passant à la méthode la plus simple de tracé des cartes, où les parallèles et les méridiens représentent des cercles ou des lignes droites, nous i*emarquons que les possessions de la Russie, du côté des monts Ourals , du Caucase et de la Géorgie, s'étendent plus du nord au sud que de l'est à l'ouest; des lors on ne peut comparer cet espace à un cercle, encore moins à une ellipse dont l'axe dirigé du nord au sud serait très-petit, en comparaison de Taxe dirigé de l'est à l'ouest. Par conséquent , d'après ce qui a été dit ci-dessus, ni la projection de Gauss, ni la projection stéréographique ne correspondent à la forme du pays. Appliquant au cas actuel la méthode de détermination du centre et de l'exposant que nous avons montrée, nous remarquons que le centre de l'ellipse minimum qui , ayant uu axe dirigé suivant le méridien, embrassant toutes les possessions ouraliennes de la

( 6. ) Russie, y compris ]e Caucase et la Géorgie, se trouve entre Jaroslaf et Ouglitch , à 5y^ de longitude et 57^,36' de latitude*, le rapport de ses axes est égal à-^. Partant de cette ellipse, nous trouvons qu'à la projection la plus avantageuse correspond l'exposant 1,0788 (^). Cette grandeur ne diffère de i, exposant de la projection stéréographique , que d'une quantité inférieure à un dixième. Mais une telle différence a une notable influence sur le degré d'exactitude de la représentation. Nous avons vu que la projection stéréographique, pour la position la plus avantageuse de son centre, sur l'espace de la portion de Russie examinée par nous, offre une variation d'échelle allant jusqu'à 77 • ^^ adoptant la quantité trouvée 1,0788 pour l'exposant de projection et plaçant son centre entre Jaroslaf et Ouglitch (à 67° de longitude, et 57^4^'3o'^ de la latitude), nous avons obtenu une carte de cette partie de la Russie, où les changements d'échelle ne dépassent pas -^ , et c'est le plus haut degré de précision qu'on puisse atteindre , en conservant pour parallèles et méridiens des cercles et des lignes droites.

C'est ainsi, Messieurs, que la majeure partie des questions pratiques se ramène à des problèmes de maximums et minimums^ entièrement nouveaux pour la science; et ce n'fst que par la solution de ces problèmes que nous pouvons satisfaire aux exigences de la pratique qui cherche partout ce qu'il y a de meilleur, ce qu'il y a de plus avantageux.

(*) Par la formule de la remarque faile page 55, pour / = 57<'36', n=i>7, Vexposant est 1,0675. Calculant les corrections, nous trouTons qu'où doit augmenter ccttA quantité de 0,01 13, et que la latitude du centre de projection est égale à 57» 36' -t-6' 3o* = 5;® !\i' 3o*. Sa longitude reste égale à 67*'.

BURGI (JOBST)

ET SENS tfÉVÉRiEN DU MOT LOGARITHME (•);

D*APBis M. WiLBKM MATZKA, Professeur à Vanirersité de Pra^e.

En 1620 Burgi publia l'ouvrage suivant :

jirithmetische und geometrische Progrès s-^Tabuleii, sambt grûndlichen Unterricht^ -wiesolchè nûtzUch in aller/eyrechnungen zu gebrauchen und vers tandenverden soi. Gedruckt in der alten stadt Prag^ bei PanlSessen, der loblichen Unwersitet buchdrucker. Im jahre i6ao.

c( Tables progressives arithmétiques et géométriques, avec une instruction solide pour les comprendre et s'en servir utilement dans toutes sortes de calculs. Imprimé dans l'antique ville de Prague, par Paul Sessen, imprimeur de la louable Université. Dans l'année 1620. 11

Format petit in-4 de 7 feuilles et demie.

UJnsiruction solide a été omise, il n'y a que les Tables : de sorte que le but véritable de ces Tables n'était pas bien connu. Cela a contribué à faire croire que Burgi a inventé les logarithmes longtemps avant Neper^ à quoi il faut ajouter l'assertion de son beau-frère Bramer que nous avons citée [Bulletin, t. IV, p. Sj), et surtout ce que dit Kepler avec tant d'assurance dans ses Tabulœ liudolphinœj fol. Ulmae, 161 7 :

Hoc inquam si expetis : ecce tibi apices logis liai Jusio Byrgio multis annis ante editionem neperianam, viam prœii^erunt ad hos ipsissimos logarithmos, Elsi homo

(») Journal de Gruncri, t. XV, p. 131 ; i85o et t. XXXIV, p. 349; i8(k>.

(63) cunctator et secretorum suorum cusios^fœtumin parla deslituit^ non ad usils publicos educavir.

D'après cela, des doutes sur la priori le de l'invention étaient légitimes, et M. Matzka, dans son Mémoire de i85o, se prononce même en faveur de Burgî ; mais depuis la question a changé de face. M. le D' Gieswald, professeur en premier du gymnase deDantzig, a eu le bonheur de découvrir dans la Bibliothèque de cette ville le manuscrit de VInstruction solide ci-dessus mentionnée, et Ta publié in extenso (p. 26-36) dans sa dissertation Pf^ogramme scolaire (*) de i856 :

Justus Bjrrg als malhematiher and dessen Einleitang in seine logarithmen.

a J. Byrg comme mathématicien et sur son Introduction à ses logarithmes. »

Dans la préface k cette Instruction^ on lit :

Betrachtent derowegen die eigenscha/l und corres^ pondenz der a progressen alz der arithmetischen and der geometrischen ; dos was in der ist multipliciren^ ist in jener nur addiern^ und was in der ist dii^idiern in jener subtrahiren; und was in der ist radicem qaadra* tam extrahiren^ in jener nar isi halbiren\ radicem cubicam extrahiren^ nur in 3 div^idirn^ radicem zensi in 4 di- {fiern. sursolidam in 5 und alsofort in andern quantitaten.

« Considérant à cet effet la propriété et la correspondance de deux progressions, telles que l'arithmétique et la géoniétrique, ce qui dans celle-ci est mu/^ij^/zer est dans celle-là seulement additionner^ ce qui dans celle-ci est

(*) 11 est d*usage en Allemagne que les directeurs on supérieurs des collèges publient à la fin de Tannée scolaire, non pas des discours qui le plus souvent impatientent les éléres et ennuient les spectmteurt, qu'on croit auditeurs, mais des dissertations scientifiques, curieuses et instruotives.

(64) diviser est dans celle-là soustraire^ ce qui dans celle-ci est radicem quadralam extrahere, est dans celle-là dimi" dier; radicem cubicam extrahere^ seulement diviser par 3 ; radicem zensii^^r^^ sursolidam par 5^ et ainsi de suite pour les autres quantités. »

Mais tout ce paragraphe de Burgi n*est que la traduction presque littérale d'un passage de Tarithmétique de Micbael Sliffel (voir Bulletin, t. I, p. 71), dans son Ariihmetica intégra (i547, P* ^49)- Sliflel place l'une au-dessous de Tautre les deux progressions :

Et dit là-dessus :

Qualiaque facit progressio geometrica multiplicando et dividendo, talia facit progressio aritkmetica addendo et sublrahendo.

Et Lib. I , p. 35, il ajoute :

jidditio in arithmèticis progressionibus respondet multiplicationi in geometrici^. — Substractio in arithmèticis respondet in geomelricis dii^isioni. — Div^isio in arithmèticis progressionibus respondet extract ionib us radicum in progressionibus geometricis^ ut dimidiatio in arithmèticis respondet extractioni quadratœ in geome^ tricis, — Triplatio in arithmèticis respondet multiplica-' tioni cubicce in geometricis, — Quint uplatio in arithme^ ticis respondet multiplicationi surdesolidœ in geome^ tncis. Et sic de aliis in infinitum.

Burgi dit presque mot à mot la même obose et même la phrase finale.

Llnslruclion solide débute ainsi :

Zu diesen Tabulen Jindet man Zweierley Zahlen :

( 65 ) eifie mttt rothen Caraciern, welche wie einem ieden leichtlich zu sehen^ nichls anders dann ein arilhmeschev progressa die andre aber mit schwarzen niçhts anders dann ein geometrischer progress ist : und auf das wir m diesem desto kurzer durchgefien, woll wir dorihin den arithmetischen progress die rothe et den geometrischen progress die schwarze zahl nennen, damitaucheinieder die fundamenta dieser tabulen grundlicher fasse und dieselbige besser gebrauchen, so wollen wir in folgender begriff dieser a progressen fur augen stellen und dieselben mit etlichen exemplen erklaren.

,., ., o. 1.2. 3. 4- 5...(ro^4) Anthmetik . . . 7-5 — ^-5 ' , ' .*

<c Dans ces Tables, on trouve deux sortes de nombres : les uns en caractères rouges, qui, comme chacun le voit facilement, ne sont autres qu'une progression arithmétique \ mais les autres noirs ne sont autres qu'une progression géométrique : mais afin d'abréger le trajet, nous appellerons nombre rouge la progres^on arithmétique et nombre noir la progression géométrique, et afin que cliacun saisisse à fond les fondements de ces Tables et puisse mieux s'en servir, nous voulons mettre sous les yeux la propriété de ces progressions et les expliquer par quelques exemples :