Soit, maintenant

« ^J7 -f. i) (« -i- 2) (4? -h 3 ) (a? -H 4) (* "+- 5 ) = j^S Téqùation proposée. On a

p±z5 et (2, 3. ../>) = 3o.

Nous allons faire voîrque si l'équation s^dmettait unç

■ ( 41 ) solution entière, il en résulterait cette absurdité : que parmi six nombres entiers consécutifs jc, (x + i),. . ., (x -h 5) , il n^y aurait pas un seul multiple de 6.

Démontrons d'abord qu'aucun des deux facteurs extrêmes X, (x4-5), du produit x (x + i),. . ., (a: -h 5) ne peut être multiple de 6.

Si X = 6a 9 le nombre entier a n'est pas divisible par 5 (2). Or, Tégalité x^:^6a donnant jc -f- 5 = 6a -h 5 , on voit que x ,-+- 5 est premier avec 3,3,5; donc (x+ 5 ) est un carré ( i , i^. ) Par suite j le produit

jp(x -f-i) (a: 4- 2) {* 4- 3) (x + 4)

de cinq nombres entiers consécutifs serait un carré exact; c'est ce qui n'a jamais lieu (3).

La même démonstration convient â T autre facteur extrême x -h 5.

Il reste à considérer les facteurs intermédiaires (x-f- 1), (x+ a), (x-f-3), (x-f-4)- SI l'un d'eux, x-f- 2, par exemple, est multiple de 6, il est clair que les deux facr leurs X + 3 , x + i qui comprennent x -+- 2 , seront premiers avec 6; et comme ils ne peuvent être, tous deux, multiples de 5, l'un d'eux n'admettra aucun des diviseurs 2 , 3 , 5 , et sera par conséquent le carré , a*, d'un nombre entier. L'autre facteur a*±: 2 n'étant pas un carré, devra être divisible par 5 (1, 1°). On aurait donc

or, cette égalité ne peut exister, car la formule des carrés qui ne sont pas multiples de 5 est, comme on sait,

Il résulte de ce qui précède , que le produit de six nombres entiers consécutifs ne peut être un carré.

^. H en est de même du produit de sept nombres con-

•écutifs. Car, si l'équation

admettait une solution entière, aucun. des sept nombres X, (x •+• i),. .., (jr-H5), (r-h6) ne serait divisible par 6.

En effet, p étant encore égal à 5, on démontrera, comme dans le cas précédent, qu'il est impossible que l*un des facteurs intermédiaires x + i,. . .,a:<^ 5 soit multiple de 6. Il n*y a lieu à démonstration nouvelle que pour les facteurs extrêmes x , x + 6.

Supposons x=: 6m, on aura

ar4-6 = 6(/ii + i);

et aucun des deux nombres fti, m + i ne sera divisible par 5 (2). Or, les égalités

xzizômj jr -h6 = 6 (/»•+• i) donnent

.r-+-i =6(iii-+-i) — 5 et jc H-5=6/w -♦- 5.

Ces dernières montrent que les facteurs x + 1, x+ 5 ne sont divisibles par aucun des trois nombres premiers a^ 3, 5. Donc (1, 1°), on a

x-+-i=sa% x-+-5 = A', d'où ^» — a' = 4;

égalité qui est impossible, puisque la différence des carrés de deux nombres entiers &, a, plus grands que Tunité, est égale au moins à 5 . Il est ainsi démontré que Téquation proposée n'admet pas de solution entière. G.

OUESTIOKS.

408. On donne , i^ une droite fixe ^ o? un point B sur cette droite \ 3^ un point fixe A . Trouver une courbe telle, qu'en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle à cette tangente, ces deux droites interceptent sur là droite fixe deux segments, comptés du point B, tels, que la somme des carrés de ces segments sait égale à un carré donné A*. Mêmes données, mais prenant la différence des carrés; ou bien le produit des segments , ou bien la somme des inverses des segments égale à une constante donnée.

4ft9. Soient: i°. A, B, C, D quatre droites dans un même plan, et m, o, l, s quatre points fixes dans ce plan \ par m menons une droite quelconque coupant C et D aux points c et ^; par c et o menons la droite co coupant A et B aux points a et £ ; par a et l menons la droite al et par c et 5 la droite es ; Tiiltersection p des droites al et es décrit une ligne du troisième ordre.

a°. Soit un quadrilatère plan variable ABCD ; o, p, g, r quatre points ^are^; o est sur AB , p sur BC, q sur CD, r sur DA. Les sommets opposés A et C sont sur deux droites fixes données dans le plan du quadrilatère ; le sommets opposés B, D décrivent des lignes du troisième ordre.

jr = v^2-Hy4> j:* = iox»H-ioar-|-6,

(EuLER.)

SOI. Par un point fixe M pris sur une cûnique, on mène une tangente \ soit T un point quelconque pris aur cette conique; TN une seconde tangente et N le point de contact; au point X on élève une perpendiculaire sur la tangente TN; elle sera rencontrée en R par la perj^ndiculaire abaissée de N sur la tangente fixe TM« Quel est le lieu du point R?

802. Par un foyer d'une ellipse on mène une corde AB ; par le point de rencontre des deux normales en A et B, on mène uile parallèle au grand axe; cette parallèle passe par le milieu de AB. •

503. Déterminer les six racines rationnelles de cette équation

Abbl.

504. AB = 2R = diamètre d'un cercle de centre K 5 O = un point sur le diamètre AB ;

KO = a;

P = un point de la circonférence;

Angle PAB = P;

Angle POB=:f

On a

R sin 2 B

V/(R -+- ay cos' p -h (R — û)' sin' p 2^P d^

V^(R+fl)'cos»p4-(R— i»)»sin^P \/R*cos'.4/-h(R'— a")sin>)^

fonction elliptique. Jacobi.

805. On connaît les leyers et les couchers du Soleil en temps moyen à Paris ; en déduire les mêmes données pour le 1*' de chaque mois de 1860 à Alger (*).

(*) Ces données très-utiles, surtout pour les Arabes, manquent dans V Annuaire du Bureau des Longitudes.

506. Deux poinls parcourent chacun une droite, e( dans le même plan. Soient e, y l'espace parcouru et la la vitesse du premier point au bout du temps t\e^^{^^ les mêmes données pour le second point : si Ton a la relation

où les a et les b sont des constantes, la droite qui rétmit les points au même instant a pour enveloppe une conique \ en indiquer le genre et l'espèce.

507. Hj, nombre de combinaisons de n éléments pris p à p sans répétition et n' avec répétition. On a