X«'.AD

il faut donc prouver que Ton a

^ X AD (2a' -f- 2 tf 6 — A» — Âd' ) = ^ X AD . a' o 6

ou

-lub — 6» = ÂD '= (r -4- OD)».

Si nous menons OC , le triangle rectangle ODC donne

0D= v/r»— ^>; nous aurons donc :

lab — A' = /•» -h r* — ^3 -f- 2/ ^r* — 6%

rt^ = r'^ -f- r ^r» -— 6', d'où l'on tire, par un calcul facile ,

2flr*

U suffit donc de démontrer l'existence de cette équa<^

( 56 ) tion. A cet effet, joignons le point B au centre O, cette droite BO est bissectrice de Pangle ABC et est perpendiculaire sur le milieu de la droite AC puisque le triangle ABC est isocèle ] soit I le point où BO coupe AC ; désignant AI par X , le triangle rectangle OIA donne

Ôï = r' — x%

le triangle rectangle AIB

BÏ'=: a» — x\

Si nous faisons la somme de ces deux ^alités et que nous augmentions de

2.01xBI = 2v^(r» — x»)(û>- X») chaque membre de l'égalité obtenue, nous aurons ÔïVaÔixBI-f-W

= r ' -^ x> 4- a* — X' -h îl V^(r» — x»)(û«— x») = BO. Or dans le triangle rectangle OB A , on a

ÔB = a^ + r% donc

a' -+- r'^ = r- — 2x' -h a' H- 2 \/(/-* — jr')(«'-— x'J,,

x' = ^(r» — x»)(a' — jr=), x* = (r-' — x)(«' — x»),

Les triangles AIO, ADC sont semblables, puisqu'ils •ont rectangles et que Tangle A leur est commun. Q|i a

donc

b or

AC

ACxOlax^r^'

aar /r»(/i»-f.

fl'r'

%ar ^r' [à* -4- r) — a^

r(fl'-h/'«j