DBTBRHUIATION BU DEGRE DE L'ÉQUATION DE CERTAINES SURFACES ENVELOPPES

Par m. Th. MOUTARD.

On est fréquemment conduit, dans l'étude des surfaces et des lignes à double courbure algébriques, à rechercher le degré du résultat de certaines éliminations spéciales où Tapplication immédiate du théorème de Bezout conduirait à un nombre trop élevé. Plusieurs de ces questions, particulièrement celles qui se rapportent au contact des surfaces et aux surfaces enveloppes , se résolvent simplement par la considération de deux lieux géométriques, i savoir : 1° le lieu du point dont les plans harmoniques par rap^ port à quatre surfaces données se coupent en un même point ^ a^ le lieu du point dont les plans harmoniques par rapport à trois surfaces données se coupent suivant une même droite.

1. L'étude du premier de ces deux lieux n'offrant aucune difficulté, je me bornerai à éupncer |es f^sultats auxquels elle conduit.

Soient donc

les équations de quatre surfaces algébriques mises sous forme homogène» désignons d'ailleurs par /, m, n, p leurs degrés respectifs et par x, j^ x, t les coordonnées ▼ariables -, on trouve immédiatement que le lieu du point dont les plans harmoniques se coupent suivant un même point est la surface représentée par Féquation

fih dh dL dh

rfM

rfxN

Le degré de cettp stirfaçe étant égal à (/-hw 4-/1 ■+•;> — 4) on a les théorèmes suivants :

i^. Dans le réseau des surfaces représentées par Vé^ qnation