XL-hfAM-f-v:* = o

où A, fi, y sont des constantes arbitraires, il y en a une infinité qui sont tangentes à la surface P; le lieu des points de contact de toutes ces surfaces avec P est la courbe (P, A) d'ordre ^(Z4~m + /i + ^ — 4).

2^. Dans le faisceau des surfaces représentées par l'équation

AL-Hf*M = o, ,

(6o) il en existe en général np (l-^m^n-hp — 4) ^}^^ sont tangentes à la courbe d'intersection de N =: o et de P = o.

3^. L'équation de condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients de l'équation d'une surface de degré ip> pour qu'elle soit tangente à la courbe d'intersection de deux surfaces données, Tune de degré n, l'autre de degré p, est par rapport à ces coefficients de degré np (fim -^ n-{-p — 4).

4°. La surface enveloppe de toutes les surfaces de degré / dont les coefficients sont des fonctions de degré m de trois paramètres variables liés entre eux par deux relations, l'une de degré n, Tautre de degré p^ est en général d'un ordre marqué par Inp (am-f-^i-f-/? — 4)*

2. Le lieu géométrique du point dont les plans harmoniques par rapport à trois surfaces passent par une môme droite , consiste en une ligne à double courbure , dont la définition algébrique complète exige la connaissance de quatre surfaces. Soient en effet

)es équations de trois surfaces algébriques respectivement d'ordre X-|-i, fA-f-i, y + i;les plans harmoniques d'un point x^ y^ z^ t par rapport à ces surfaces ont pour équations

^dl. ^dL ^dL ^dL ^dfA dM ^dVL ^d}A

X — Y — Z— T— — dx dy dz dt

Pour que ces trois plans passent par une même droite, il faut et il suffit que l'on ait, pour toutes les valeurs de

rfL

rfJS

dfi

Le lieu Gherché consiste donc dans le système des points

communs à toutes les surfaces que peut représenter l'ë-

quation

Or il est aise de voir que toutes ces surfaces passent par une même courbe, et qu'il est eu général impossible de définir celle-ci d'une manière précise avec moins de quatre équations. Considérons en effet les quatre surfaces

dÙL ^ dti ^ dL ^ du

on a identiquement

dL ^dh ^dîs ^dh

du „rfM ,,r/M ^^M

iiS ,rfN ^d^ ^r/N A— ^^B— +C— -4-0—= o.

dr dy dz dt

Par suite les coordonnées de tout point situé sur deu^

d'entre elles

A 1=. o et B = G

(*) Cela ndi s'accorde pas avec le résultat (t. XVI , p. a63). Ou tyil l'erreur? Tmi

satisfont aux équations

^dU ^ dM dz dt

Posant

rfL

dhl dt

rfN

dû!

on tire de là

PC = o,

RC = o,

PD=:o,

RD=o.

D'autre part les ëquatio

entraînent cvidemment

et B

sans entraîner

C = o et D=ro.

De là résulte que dans le système des points communs à Â et à 6, il faut distinguer, à côté des points situés aussi sur C et D, lesquels forment une courbe à^ les points communs P, Q, R. Ceux-ci forment eux-mêmes une courbe

(63) 3* qui ne constitué en général l'intersection complète d'aucun couple de surfaces algébriques; car les identités

^dL ^dM „ ^N

montrent que l'intersection complète de P et Q se compose, d'une part, de la courbe commune aux deux surfaces

- = o. et -^=0,

et, d'autre part, d'une courbe i^ située sur R. L'intersection complète de A et B se compose donc de deux cour* bes : la courbe principale d qui constitue le lieu cberché et une courbe auxiliaire â'. Si Ton adjoignait aux deux surfaces A et B la surface C = o , laquelle ne contient pas-^', la courbe i ne se trouverait pas encore entièremeut définie, car |>armi les points on â' rencontre C , il en existe quf ne sont pas situés sur d, à savoir les points communs AUX trois surfaces

dL «m rfN

dt ~~ * de "^ ^' dt ~^*

La discussion qui précède permet d'établir immédiatement le nombre des points où la courbe d est rencontrée par un plan , ou plus généralement par une surface algébrique de degré m, P=o. Pour cela, je remarque que les surfaces

A, B, P, Q, —, — ont respectivement pour degrés

(64) le nombre des points communs à F, A^ B est donc m(X-+-|:ji-hv)'; il se compose des points d'intersection de F et J et des points d'intersection de F et 5' ; or ces derniers sont les points communs à F^ P, Q ^ en exceptant les

points communs à F, — 9 -7-9 ils sont donc en nombre

iit(fA + v)(v-i->)— /wv»=:/fi(p-h»>-f-^fi),

et par suite le nombre cherché est

m[{l -4-pt-4- v)'— p — vX — Xfx] ou

m (X» -h f*^ -h V» + fAv -h vX -^ Xf*).

On peut ajouter que le nombre des points communs aux deux courbes 3 et à^ est égal à

(X -+- fA 4- v) (p -i- vX -4- Xu) — XftV.

Si Ton joint à ces résultats le degré de la surface dévelop^ pable formée par les tangentes à la courbe d^ lequel peut s'établir par des considérations analogues un peu plus complexes ) et que je trouve égal à

2 (X -f- ^ H- V — 1) (X» -f- fX» -4- V* -i- fAV -i- VX -h XfA)

— {pH-vX-HXpt)(XH- fA-i-v)-l-X|Av,

on aura tous les éléments essentiels relatifs à cette courbe ; car on en déduira par les formules de Steiner le degré et la classe des cônes qui ont cette courbe pour directrice^ le nombre de leurs arêtes doubles , de leurs plans d'intlexion, de leurs plans doublement tangents, et par suite aussi le nombre des plans osculateurs que Ton peut mener à la courbe par un point quelconque, ou, ce qui revient au même, la classe de la surface développable formée par ses tangentes. La connaissance du nombre des points où la courbe à est rencontrée par une surface al-

(65) gébrique, fournit )a solution de la question suivante;

Dans le faisceau des surfaces représentées par l'équa^ tion

oii M est de degré fz -h i , N c?e degré v -f- 1, combien y en a^-t-U qui soient tangentes à une surface donnée L de degré X -h i .

Il suit, en efîet, des propriétés connues du plan harmonique, que les points de contact de L avec les diverses surfaces du faisceau qui lui sont tangentes sont situés sur la courbe d relative aux trois surfaces L , M et N et que leur nombre est par conséquent égal à

{\ 4- i) (V -H pt* 4- v»-h p -h vX -i- >f*). D'ordinaire on suppose /!x = v , cette formulé devient alors

et le résultat qu'elle exprime peut s'énoncer sous la forme suivante, utile à signaler : ,

V équation de condition à laquelle ^oii^ent satisfaire les coefficients des équations de deux surfaces algé^ briques Vune d'ordre l -f- 1 , Vautre d^ ordre /x + 1, pour que ces deux surfaces soient tangentes entre elles^ est de degré

par rapport aux coefficients de la seconde y et de degré

par rapport aux coefficients de la première. De là on déduit enfin que :

La surface enueloppe de toutes les surfaces de degré 1 dont les coefficients sont des fonctions de drgré m de

Ann. de Mathémat.y t. XIX. (Février i86o. } 5

(66) trois paramètres arbitraires liés entre eux par une re/a-» lion unique de degré n d^t en général d'an ordre mar^ que par

/«[(w — i)'-f-2(/i — i)(m— 1)4- 3(iit — î)«].

Ce théorème et son analogue de la fin du u° 1 sont susceptibles d^ applications importantes dans la théorie des surfaces algébriques. Ils permettent entre autres d'obtenir immédiatement des résultats analogues à quel* ques-uns de ceux énoncés pour les courbes dans un Mémoire de M. Steiner présenté dans la séance des sections réunies de T Académie de Berlin du lo ao&t 1848 {^Journal àe Liouville, t* XVIII, p Soy). Je me bornerai à citer les deux suivants :

Lorsqu'un point O parcourt une surface de degré r, la surface polaire de degré (m — p) du point O, par rapport à une surface donnée d'ordre m , est enveloppée par une surface de degré

Lorsque le pokit O parcourt la courbe d'intersection de deux surfaces de degré r et r', la polaire de degré m — ^ du point O, par rapport à une surface de degré //i, est enveloppée par upe surface de degré

(/w — /?)rr'(2;7 -I- r-f-r' — 4)' En faisant

on trouve

(ot— /7)r(r-j-2/? — 3),

ce qui est le résultat donné par M. Steiner (p. 3ii du Mémoire cite).

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