APPLICATION

fte la tnisfinitiii fu rajois ledtm réeipr^ies (*) i Vkêk k h

sirfiee MTekfpe i'wÊt sflière Uigcite à trois sphères dniées;

Pa& m. a. MANNHEIM.

1. M. Dupin, à la p. 22 du t. P** de la Correspond dance sur l 'École Polytechnique y a montré que les ligues de courbure de la surface dont il s^agit sont des circon- férences; à la p. 4^0 du t. IP, le même géomètre a donné l'analyse d'un Mémoire, qui n'a pas été imprimé, relatif aux principales propriétés de cette surface ; enfin , dans les jâpplications de Géométrie , p. aoo, on trouve les démonstrations de la p/upart des propriétés de cette même surface, que M. Dupin désigne sous le nom de cyclide.

Je me propose de faire voir comment , au moyeu de la transformation par rayons vecteurs réciproques, on arrive simplement aux propriétés connues de la cyclide et à d'autres qui n'ont pas été remarquées.

Je vais d'abord montrer qu'on peut toujours transformer une cyclide en tore; cette transformation étant faite, il ne restera plus qu'à revenir des propriétés du tore aux propriétés de la cyclide.

2. Lemme. On peut toujours transformer un groupe de trois sphères données en un groupe fie trois autres sphères ayant leurs centres en ligne droite. Le lieu des pôles de transformation est la circonférence qui coupe à angle droit les grands cercles des sphères données situés dans le plan passant par leurs centres.

(*) Nooft ne ferons nftage dans ce traTail que de oette transformatioD el Bout aooe-entendrona lea moto : par rayons vet leurs réciproques*

Il est bien évident que les pôles de transformation doi-^ vent être dans le plan des centres des sphères données. Il est bien clair aussi que si nous transformons les grands cercles situés dans ce plan en trois autres dont les cen-^ très sont en ligne droite, la même transformation donnera lieu pour les trois sphères à trois autres sphères dont les centres sont en ligne droite.

Le problème est donc ramené à ce problème de géométrie plane : Transformer trois cercles en trois autres cercles dont les centres sont en ligne droite.

Chacun des points de la circonférence qui coupe orthogonalement les circonférences données , peut être pris pour pôle de transformation . En eflct , si l'on prend un de ces points pour pôle, cette circonférence orthogonale se transforme en une droite qui coupe à angle droit les transformées des circonférences données 5 cette droite coupant h angle droit ces transformées, contient leurs rentres 5 donc, etc.