La cyclide se compose généralement de quatre nappes

D'après le lemme précédent , nous pouvons transformer les trois sphères données en trois autres sphères dont les centres sont en ligne droite, c'est-à-dire transformer la cyclide en tore.

Examinons ce qui se passe dans le cas particulier où les centres deâ sphères données sont en ligne droite. Pour cela, menons par cette ligne un plan quelconque qui coupe les sphères suivant trois cercles. On peut généralement mener k ces circonférences huit circonférences tangentes, mais ces huit circonférences sont symétriques deux à deux par rapport à la ligne des centres des circonférences données. En faisant tourner toute la figure autour de cette droite , on n'engendrera donc que quatre tores. A

(«9) ces quatre tores correspondent les quatre nappes de la cy^ clide. Les buit cercles qui engendrent les quatre tores pouvant se réduire selon les positions relatives des grands cercles auxquels ils sont tangents , on voit que ce n'est que dans le cas le plus général que la cyclide se compose de quatre nappes.

4. Les nappes de la cyclide se coupent deux à d^ux suivant des circonférences.

Car les tores provenant de la transformation de la cyclide se coupent deux à deux suivant des circonférences. Nous verrons plus loin que ces intersections sont des lignes de courbure de la cyclide. En transformant les tores pour revenir à la cyclide, on peut prendre le pôle de transformation sur la surface de l'un d'eux ou en un point de l'une des circonférences résultant de leur intersection ; dans le premier cas , la cyclide a une nappe s'étendant à l'infini \ dans le deuxième cas , il y a deux nappes s'étendant à Tin fini.

Nous allons étudier en particulier l'une des nappes de la surface, c'est-à-dire la cyclide provenant de la transformation d'un tore.

5. Les lignes de courbure de la cyclide sont des circonférences (*).

Le tore a pour lignes de courbure les méridiens et les parallèles; comme ces lignes sont des circonférences, leurs transformées sont aussi des circonférences^ donc, etc.

6. Le plan d'une ligne de courbure de la cjrclide coupe cette surface partout sous le même angle.

Par un point quelconque p de l'espace, on peut toujours faire passer des spbères contenant les parallèles ou les mé-

(*) Fo/r le Mémoire de M. Lioaville {Journal de Mathématiques^ t. XII, p. aSî).

{ 7° ) ridiens d'un tore donné. Toutes ces sphères conpent le tore, le long de leurs lignes d'intersection, sous le même angle.

En transformant, le pôle de transformation étant en p, ces sphères deviennent les plans des lignes de courbure de la cyclide; donc, etc.

En transformant par rapport à un point quelconque, on voit que :

Une sphère qui rencontre une cyclide suivant une ligne de courbure, coupe cette surface partout sous le même angle.

Ce théorème est un cas particulier du suivant :

Si une surface a une ligne de courbure sphérique , la sphère sur laquelle se trouve cette ligne de courbure coupe la surface partout sous le même angle (*).

Ce théorème comprend, comme cas particulier, le théorème suivant, de M. Joachimstahl, d'où on l'a déduit :

Si dans une surface une ligne de courbure est plane, le plan de cette ligne coupe la surface partout sous le même angle (**).

7. La cyclide admet toujours deux plans tangents qui la touchent suivant des lignes de courbure.

Par un point quelconque p de l'espace, on peut toujours mener deux sphères tangentes k un tore. Les lignes de contact sont un méridien et un parallèle, ou deux méridiens, ou deux parallèles.

En prenant p pour pôle de transformation , le tore devient une cyclide et les sphères tangentes des plans tangents à cette surface, l.es lignes de contact sont les trans-

(*) Voir Journal de M. LioaTÎlle, t. XVIll , p. laS , Mémoire sur les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ousphériques; par M. J.-A, Serret.

(**) Voir/ou/MideM. Cre1le,t. XXX, p. 347, et Nouvelles AnmaUs,

(70 formées des lignes de courbure du tore , c'est-à-dire des ligues de courbure de la cyclide.

Lorsque les deux plans touchent la cyclide suivant des lignes de courbure d'un même système , cette surface peut être considérée comme Tenveloppe d'une sphère tanr gente à deux plans et à une sphère donnée.

8. La cyclide peut être considérée de deux manières différentes f comme la surface em^eloppe de sphères tangentes à trois autres.

Le tore peut être considéré comme Tenveloppe d'une sphère tangente à trois autres dont les centres sont en ligue droite, ou comme Fenveloppe de sphères tangentes à trois autres sphères dont les rayons sont égaux. La transformation des sphères de chacun de ces systèmes de génération conduit aux deux systèmes de sphères dout la cyclide est l'enveloppe.

Nous appellerons premières sphères de la cyclide, celles qui correspondent aux sphères de rayons égaux du tore , et deuxièmes sphères celles qui correspondent aux sphères enveloppant le tore,etdont les centres sont en ligne droite.

Si l'on se donne trois des premières sphères, les deuxièmes sphères enveloppent la cyclide, que Ion obtient encore en cherchant l'enveloppe des sphères tangentes à trois des deuxièmes sphères supposées fixes.

Il est facile de voir que pour le tore , dans, l'un ou l'autre système de génération, les lieux des points de contact des sphères variables et des sphères fixes sont des circonférences ; on a , d'après cela , par la transformation , le théorème suivant, dû à Dupuis (*) :

Les lieux des points de contact des sphères mobiles et des sphères fixes sont des circonférences,

{*) Correspondmnce sur l'École Polytechnique, t. I , p. 19; t. U, p. 423.

( 7^) On peut ajouter que , ces circonférences sont des lignes de courbure de la surface enveloppe des sphères mobiles,

9. Le lieu des centres de courbure de la cycUde se compose de deux coniques situées dans des plans perpendiculaires entre eux,

M. Dupin a dc^moutré ce théorème d'une manière trèssimple dans ses Applications de Géométrie.

Nous allons examiner séparément le lieu des centres des sphères de chacun des systèmes.

Commençons par le lieu des centres des deuxièmes sphères , c'est-àrdire qui correspondent à celles du tore qui ont leurs centres en ligne droite.

Les centres de ces sphères sont dans le plan passant parle pôle de transformation et par Taxe du tore qui a donné lieu à la cyclide que nous considérons.

Nous voyons donc déjà que le lieu des centres des deuxièmes sphères est une courbe plane*, nous pouvons ajouter que le plan de cette courbe est un plan de symétrie de la cyclide. Ce plan coupe la cyclide suivant deux circonférences , le lieu des centres est maintenant facile à trouver, puisque ce n'est autre chose que le lieu des points également distants de ces deux circonférences, c'est-àdire une conique ayant pour foyers les centres de ces circonférences.

Examinons le lieu des centres des premières sphères.

Par le pôle p , menons une sphère coupant orthogona- Irment le tore, qui par la transformation conduit à la tyclide que nous considérons; à cette sphère correspond un plan qui doit contenir les centres des premières sphères. Ce plan est évidemment un plan de symétrie de la cyclide.

Les centres des premières sphères doivent se trouver aussi sur la surface conique, que Ton obtient enjoignant p aux centres dos premières sphères du tore.

Le lieu cherche étant sur un plan et sur un cône, est la courbe d'intersection de ces surfaces , c'est-à-dire une conique.

Le lieu des centres de courbure d'une cyclide se compose donc de deux coniques; il est facile de voir que chacune d'elles a pour sommets les foyers de l'autre.

La sphère qui passe par p et qui coupe orthogonalement le tore, a son centre sur l'axe de cette surface; elle est donc coupée à angle droit par tous les plans méridiens; mais par la transformation elle devient un plan de symétrie de la cyclide; ce plan doit donc être perpendiculaire au plan méridien passant par p , qui est aussi plan de symétrie de la cyclide. Nous voyons donc que les plans de symétrie de la cyclide sont perpendiculaires entre eux.

10. Les plans des circonférences ^ lignes de courbure delà cyclide, passent par deux droites perpendiculaires entre elles.

Par p faisons passer des sphères contenant les parallèles du tore transformé de la cyclide, toutes ces sphères se coupent suivant un petit cercle qui passe par p , dont le plan est perpendiculaire à l'axe du tore, et dont le centre est sur cet axe. De même , les^sphères passant par p et qui contiennent les méridiens du tore, se coupent suivant une circonférence située dans le plan méridien qui contient p.

En transformant toutes ces sphères , on a les pl^ns des lignes de courbure ; tous ces plans passent par les transformées des deux circonférences que nous venons de trouver, c'est-à-dire par deux droites.

Chacune de ces droites est dans un plan de symétrie et perpendiculaire à l'autre^ elles doivent donc être perpen- 4iculaires entre elles.

Ces droites sont les axes radicaux des deux systèines de sphères qui engendrent la cyclide.

Le théorème que nous venons de démontrer est un cas particulier du théorème suivant, dû à M. Bonnet (*) :

Dans toute surface à lignes de courbure planes , les plans des lignes de courbure d\in même système sont tangents à un cylindre, et les deux cylindresy enveloppes respectives des lignes de courbure du premier et du 5econd système, ont leurs génératrices perpendiculaires.

1 1 . Les centres des circonjérences , lignes de courbure de la cyclide , sont sur deux courbes planes transformées de coniques.

Les deux droites perpendiculaires entre elles que nous venons de trouver, coupent les plans de symétrie en deux points. Les pieds des perpendiculaires abaissées de ces points sur les tangentes aux coniques lieux des centres de courbure de la cyclide , ne sont autres que les cea^ très des circonférences, lignes de courbure. On sait que le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point fixe sur les tangentes d'une conique, est la transformée d'une conique 5 donc, etc.

12. Le lieu des sommets .des cônes circonscrits à la cyclide le long des lignes de courbure se compose des fixes radicaux des deux systèmes de sphères (**).

On démontre facilement celle propriété, en remarquant que les plans de symétrie coupent la cyclide sui* vant des circonférences qui ont pour centres de similitude les points où ces mêmes plans sont coupés paroles axes radicaux des systèmes de sphères.

(*) Journal de V École Polytechnique, 35* cahieri p. i37. (**) Voir un Mémoire de M. ChasVes {Correspondance sur l 'École Poix* technique, t. Ul , p. 34 1).

i3. Toute sphère doublement tangente à une cycldde coupe cette surface suivant deux circonférences {*),

n suffit , pour trouver ce théorème, de transformer celui de M. Villarceaa : Un plan doublement tangent à un tore eoupe cette surface suivant deux circonférences.

14. Les plans des circonférences , résultant de l'in^ tersection de la cyclide a\fec une sphère qui lui est doublement tangente, sont eux-mêmes doublement tan^ gents à la cyclide.

Concevons un tore , un plan doublement tangent et les circonférences résultant de F intersection de ces surfaces; par un point /?, faisons passer des sphères qui contiennent chacune Tune de ces circonférences. Toutes ces sphères sont tangentes au tore. En transformant cette propriété, le pôle de transformation étant en ^ , on a le théorème que nous venons d'énoncer.

Les théorèmes 13 et 1 1 sont vrais pour le tore; on a donc le théorème suivant , qui comprend comme cas particulier celui de M. Viliarceau.

Toute sphère doublement tangente k un tore coupe cette surface suivant deux circonférences qui sont dans des plans doublement tangents au tore.

Voici encore une généralisation du même théorème :

Toute sphère doublement tangente à la surface en gendrée par une circonférence qui tourne autour d'une droite quelconque, coupe cette surface suivant deux cir^ confét'ences .

M. J.-A. Serret, en étudiant cette surface, a trouvé que, par chacun de ces points, il passe sept sections circulaires : )eparallèle, deux circonférences imaginaires et qua-

(") J'ai énoncé le même théorème sous une forme différente dans le l. XV, p. 6o.

(76) trç réelles qui sont, deux à deux , symétriques par rapport au plan méridien passant par le point considéré sur la surface. Par deux de ces circonférences symétriques on peut faire passer une sphère; cette sphère coupe alors la surface suivant deux circonférences qui ont deux points communs. Il y a en chacun de ces points deux tangentes qui sont à la fois tangentes à la surface donnée et k la sphère, c'est-à-dire que ces deux surfaces ont en deux points des plans tangents communs*, elles sont donc doublement tangentes : d'où l'on peut déduire le théorème que nous venons d'énoncer.