OB

(AB) /-

(.) (CD) .r -^^^--^^^^.^ ^^^ ^^^ .(.,^),

Êtîminant x^ei y entre réquation (i) , (a) et Téqua* lion

xV 4- X (/ix' 4- V— i)* =F O,

tm obtient Féquation du lieu cherché. De l'équation (3 ) on tire

„/- . \{a^ + by-iy

par suite, l'équation { a) se met sous la forme

,, ,/ ax' + by — i\

/ax'-^by—i\ '

2 — 2 iim. <!• Mathém,, t. \IX (Mars ifiGo.)

d'où l'on tire

ax' + h' — 1 ar/ (77 — êx) — a (^ — ^)

Or (lÎTisant certaÎDS termes de réquation (i) haut et bas par (ax'-h iy' — i), on peut la mettre sous la forme

et substituant la valeur de , , . . » on a

(aj — px)(7 j^ — *x) = 4aX (a — x) {77 — Jjr)

c^est réquation du lieu : on voit facilement à son inspec^ tion que c^est une conique passant par les points fixe» donnes.

Si maintenant je transforme cette propriété par la méibode des rajon» vecteurs réciproques , j aurai cette nouvelle proposition :

On donne une conique tangente à deux droites fixes, jeux points fixes , un cercle tangent à cette conique el passant par le point de concours O. de» deux tangentes rencontre ces deux dernières en deux points. Par l'un de ces points, le sommet O et Fun des points fixes, je fai» passer un cercle*, de même par l'autre point, le sommet O et Tautre point fixe : ces deux circonférences se rencontrent suivant une corde passant par O et dont l'autre extrémité est toujours sur une conique passant par les points fixe». On peut enccure transformer cette proposition par la méthode des polaires réciproques.

Éunl donnée une conique, une corde fixe AB et deux

{ 63 ) droites fixes A^ B' dans le plan de )a conique, on prend un point variable O dans ce plan , on joint OA qu'on prolonge jusqu'à sa rencontre G avec A', OB qu'on prolonge jusqu'à sa rencontre D avec B' ] la droite CD est constamment tangente à une conique tangente aux deux droites A', B'.

U est facile de voir que c'^t la réciproque de la question proposée.

(TOlr p. S) ;

Paa m. Chaules KESSLER,

Élève du Prytanée Militaire.

Soit P un point d'une conique , C le centre de courbure en P, O 1^ centre de la conique ^ par C on mène une parallèle à la tangente en P-, soit Die point où cette parallèle est rencontrée par le diamètre OP : on a CD égal au tiers du rayon de courbure de la développée en C.

(Abel TaAirsoir.)

f te

Soit une ellipse, O son centre, P un point quelconque, C le centre de courbure en ce point, FF' Taxe focal. Faisons la construction indiquée. Soit p le rayon de courbure CP au point P de l'ellipse. On sait que, OE étant la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente PK,

(84) {Méthodes en géométne de M. P. Serret)

en posant

OP = a',

et le demi-diamètre conjugué = b' ; car on calcule facilement OE en fonction du rayon vecteur

ab . ab OE = --===== = TT'

Désignons par « l'angle CPD , on a (triangle PCD)

^i — cos'a (,) CD=fUng«t=p— ^3j^j

Or, dans le triangle OPE on a

OEssa' coia,

d'où

OE ab

et, par conséquent, substituant dans Véqûation (i)^

/ «- g'^' ab ab a^ b^

Désignons maintenant par p' le rayon de courbure de la développée en C. On sait que

tang«=:3^,

d'où

p's= 3p tangAy

{ 85 ) el subslituanl les valeurs trouvées de /o et de tanga, on a

/ = 3CD, car

p tanga r= CD, donc on a bien