CD

Pour rhyperbole, on changera i',i'* en — fe*, — A'*, et on aura le même résultat.

mOTIOBi JUALYTIODE DE U QUESTION 5«2

(TOlrp-U);

Pae m. J. LARROSE,

Élève du lycée SainWLonis.

Lemme. Si Ton appelle a , & , c les trois côtés d'un triangle et (x'^f), (x", f'), (x'\ y^) les coordonnées des sommets opposés, le centre du cercle inscrit a pour coordonnées

Je prends pour axes coordonnés les axes de Ttellipse. Soient (x'^y) et (x^\jr'^) les coordonnées des points A et B où la corde passant par le point F rencontre Telr lipse.

Je joins A et B au second foyer F'. Le point de ren*contre C des normales en A et B est le centre du triangle

(86) ABF', dans lequel les côtés

F'A=:flH == , et F'B = «+ — =

„ a* — ex' „ a' — ex" FA= —, FB =

D'après les formules (A) , Tordonnée du point C donne

car l'ordonnée de F' est nuUe et le périmètre du trianglç^ ABF'est4a.

Or Ton a

y __ AF __ a' — çx'

d'où ainsi

Cette démonstration est évidemment applicable à l'hyperbole et avec une facile modification i la parabole.

Note du Rédacteur. M; de Jolivette, élève de l'institution de Lasalle, part de l'équation Comte

or' -h j^ = {my -f- »x -h />)',

et cherche directement les coordonnées de l'intersection des detix normales par leé équatiom de ces lignçs, ce qui entfaifieiin calcul qui etlge des multiplicateurs indé^ térîùinéë que det élève emploie adroiteinteiit.

M. L. Rabeau, élève du lycée de Poitiers, donne une solution analytique, analogue 4 celle de M ^ Larme, et ajottie Une solution 'géométrique 'pour la .{larabole seule^

(«7) ment, fondée sur ce que la normale bissecte l'angle formé par le rajon vecteur et le diamètre adjacent.

M. Charles Kessier, élève de la Flèche, établit aussi Téquation Comte , mais prend pour coordonnées du point d'intersection cell^ qui ont été consignées t. XVIII,

M. Eugène Dupont, élève du lycée Louis^Ie-Q rand , pose les deux équations

les ordonnées y', y^ des points A et B sont données par l'équation

y^(fl»/if'-i-^') 4- ^mb^cy ^ m^ b^ = o, ' -i. K* — -, ^^'^ f V "^^ **

a*m*-h b^ -^ -^ a* wi» 4- b' et

/wjt' z=.y '\- me , mx" = /'^ 4- me.

De là les équations des deux normales en A et B sont *' (r "f) [y -f- me) = û»y (mx — / — //ic),

Eliminant x , il vient

/wA' j = çy' y" =r •

fl'/n'4- b^

MM. J. Bonnet, François de la Bruière (école de Sainte-Geneviève), H. Delorme (lycée Louis-le-Grand), Joumeaux (de Liège) , Desgrange» ont envoyé des solutions identiques. M. Cuénoud (de Lausanne) fait observer que cette propriété est une conséquence immédiate de \% question 433 (t. XVII, p. a85).

(88) SOLDTieN 6B0HÉTRHIUS DE U (TOBSTION S02

(T«lrp. M);