Soit Téquation

JP*^* H- flx'"-' -4- *x"*-3 -h ... H- te H- X- =r o,

qui ne renferme que des puissances impaires de Pinconnoe (excepté x^) ) il y a une racine réelle comprise entre

H- a i/- et — 2 V*"' (TCHEBICHÊF-)

547. i^. Le segment ii;itercep(é sur upe normale queU conque à une ellipse par les deux axes étant multiplié par la distance p du centre à la tangente adjacente à sa normale donne un produit constant-, a^ le segment intercepté sur une normale quelconque à une ellipse par un cercle concentrique d'un rayon égal à la demi^somme des axes et multiplié par la distance p donne un produit constant.

(96) 318. Â partir de l'origine P, normale quelconque à une ellipse, on porte de part et d'autre sur cette normale deux longueurs égales PNi , PNs telles , que le produit de PNi ou de PN« par la distance du centre à la tangente adjacente à la normale donne un produit constant ; les lieux des points Ni , Nt sont deux ellipses confocales de même centre que l'ellipse donnée.

519. Les droites qui dans deux ellipses confocales joignent deux points correspondants^ sont normales à une troisième ellipse qui bissecte ces normales*

Observation. Deux points sont correspondants lor5<que les coordonnées de ces points sont respectivement proportionnelles aux axes sur lesquels sont rapportées ces coordonnées.

520. Soient P, Q les intersections respectives d^une normale par les axes a et 2»« Si , à partir de Forigine m de la normale, on prend des longueurs égales m Si, mSf, telles, que mSi soit égal au demi-diamètre parallèle à la normale, les quatre points Si , P, Ss , Q sont placés har^ moniquement; les lieux de Si , S, sont deux cercles concentiiques â l'ellipse décrite des rayons a±b.

521 . Soit décrite une ellipse ayant pom* axes une noi^ maie et la tangente adjacente quelconque d'une ellipse donnée et touchant le grand axe de Tellipse au centre \ et de même soit décrite une seconde ellipse touchant le petit axe au centre \ les lieux des foyers de ces ellipses sont deux cercles concentriques à Tellipse donnée et ayant pour rayons la demi-*>somme et la demi «différence des axes.

Observations. Les cinq propositions 517 à 521 subsistent d'une manière analogue dans l'ellipsoïde et ont pour auteur M. le D** Heilermann, directeur de l'Ecole industrielle provinciale de Coblentz.

(97) SOLUTION DE LA OUKSTIOSI 418 (LAFFim)

(fOlr l. XVII, p. Si);

Par mm. E. CARÉNOU kt M. LAQUIÈRE,

Élèves du lycée Saint-Louis (classe de M. Faurle ;.

Deux figures étant en perspective, sî leurs plans tournent autour de leur commune intersection, il faut, pour que ces figures restent en perspective, que Toeil change de position; les perpendiculaires abaissées chaque fois du point de vue sur ces plans restent dans un rapport constant.

Soient OX, OY les intersections des deux plans par le plan mené par le premier point de vue S , perpendiculaii-cment à Tintersection commune 00' des deux premiers plans (*) . Nous allons démontrer qu'il existe dans ce même

plan un point unique S', par rapport auquel les deux fi*

(*) Dans la figure les deux parties séparées par la ligne LT sont suppo* sé^ dans des plans rectangulaires.

Ann. de Mathém,y t. XIX. (Mars 1860, ) 7

arc de cercle , r est constant -, et Ton obtient aussitôt ce résultat que M. Delaunay tire de Vëquation difierentielle de la courbe, et qui au besoin pourrait faire retrouver celte même équation , savoir que : En chacun de ses . points y le rayon de' courbure de la courbe demandée est proportionnel au cosinus de V angle formé par son plan osculateur a\fcc le plan tangent à la surface.

L'auteur imagine ensuite une sphère contenant le cercle osculateur de la courbe cherchée, et, de plus, ayant son centre sur le plan tangent de la surface. Il est aisé de voir

que le rayon de cette sphère est égal à — ^. Il est donc

constant, ce qui est une très-belle propriété, et notamment il est égal au rayon du cercle dans lequel la courbe cherchée se transforme par le développement de noire surface auxiliaire.

Pour établir la propriété dont nous venons de faire usage, considérons deux faces consécutives du polyèdre infini lésimal que, conformément à la mélhode des infiniment petits, on substitue idéalement à la surface développable. Soit A le point où la courbe proposée rencontre rinlersection de ces deux faces. J'appelle AT le prolongement au delà du point A de Vêlement de courbe qui est sur la première de ces deux faces , et AT' Télément même qui est sur la seconde. Ainsi le plan des deux lignes AT, AT' est le plan osculateur*, il forme avec le plan de la première face un angle dièdre a dont l'arête est la ligne AT. Cependant rabattons la deuxième face sur la première^ la ligne AT' viendra y prendre une position AT" qui est en réalité la projection de AT' sur celte première face; Taugle trièdrc ATT'T"adonc un angle droit suivant Tarèle AT", vi un an^lc reprc'MMilc par a suivant V.irêtc AT.

( '03) D'ailleurs les faces TAT' et TAT'' sont respectivemenl les angles de coutiogence de la courbe primilive et de sa iransforméc plane. Si on les appelle e etd, la propriété connue des triangles sphériqiies rectangles donnera

tang 9 = tang c . cos a , ou plutôt, à cause des inGuiment petits^

: e . cos a.

Soit maintenant ds Télément de la courbe primitive y élément qui ne change pas de grandeur dans la transfor*» mation ^ on a à la fois

iis^zpt et ds=zr,Bi

de là il est aisé de conclure {*) la relation

p =rcosa.

De la ligne géodésique sur une surface quelconque. Concevons une surface développable tangente à la sur-

(*) Depuis longtemps (i843) M. Catalan a déduit de l'équation diflerentielle dooDée par M. Delaunay pour la courbe qui, parmi celles de Ion* gueor donnée, comprend sur une surface quelconque une aire maximum» la propriété de cette même courbe d'ayoir pour transformée plane un arc de cercle lorsqu'on la considère comme appartenant à la surface déreloppable que j'ai définie dans le texte sous le nom de lurjact auxili ùre ( voir Journal de VÉcole Poix technique, 29® cahier,' p. r5i}. M. Catalan a démontre aussi la relation entre le rayon de courbure d^une courbe tracée sur une surface développable et celui de sa transformée plane {Comptes rendus, t. XVll , p» 738 ). Mais outre que la démonstration donnée par M Catalan pour ce second théorème est aussi purement analytique , M. Catelan n'a pas montre l'emploi de la relation p = rcoBa pour établir les théorèmes de M. Delaunay. D'après tout cela, j'ai pu croire que mon tra*» vail ofTrirait au moins par sa forme , sinon par la nouveauté du fond , quelque intérêt aux lecteurs dos Nouvelles Annales. On peut voir aussi pour lir-relation p = r cos « V Application de l'Analyse h la Oromctrie de Mongo, •>* édition (i85o); nTilcs de M. LiouviUo, p. r>7().

( io4 )

face proposée tout le long de la ligne géodësique; celle-' ci' sera également géodésique par rapport à la surface auiciliaire , et par conséquent sa transformée plane sera une ligne droite. Ainsi dans le cas actuel r est infini , de sorte que cosa est nul*, d'où on peut déduire ce résultai bien connu , que le plan osculateur de la ligne géodésique est constamment perpendiculaire au plan tangent,