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Eu i85i on a proposé pour le concours d^agrégatioii la question suivante , traitée avec élégance par M. Dieu dan» les Noui^eilés jénnales (t. IX , p. 33) : Trouuer V équation différentielle des courbes planes qui, enroulées sur un cylindre droit à base circulaire, donnent des courbes dont le rayon de première courbure est constant.
Pour résoudre celte question , je remarquerai ici et je démontrerai à Tinstant que si r est le rayon de courbure d'une courbe plane , R le rayon du cylindre sur lequel ou Tenveloppe, &> T angle que la tangente de la courbe enveloppée forme avec Tarète du cylindre, eta l^angle entre son plan osculateur et le plan tangent, on a la' relation très-simple
r sin'oj »ang« = — ^
Or^ si Ton élimine a entre cette éc}uatiou et la relaliou précédemment obtenue
p =z r cos a f il viendra
IV— p'SUl'w
R et |0 sont ici des quantités conslanlos, cl celle é<[ualioli peut être considérée comme exprimant la propriété ca-
( «o5 ) ractéristique de U coarbe plane demandée; si Ton y remplace r T9CJOVL de courbure, et câ angle de la tangente avee une perpendiculaire à la base du cylindre développée en ligne droite, par leurs valeurs connues au moyen des dérivées de la fonction qui exprime Tordonnée de la courbe , on obtiendra l'équation différentielle demandée. Mais déjà sous la forme présente on peut reconnaître que si le rayon de courbure p de la courbe enroulée doit surpasser le rayon R du cylindre, ou pourra par chaque point de la surface cylindrique faire passer deux hélices satisfaisant à la condition voulue. En effet, en supposant deux droites menées sous les angles déterminés par la condition
Féqualion caractéristique ci-dessus est satisfaite, puisqn^en même temps le rayon de couri:)ure r est infmi . Si Ton devait avoir p = R, ces deux hélices n'existeraient plus, ou mieux elles se confondraient en chaque point du cylindre avec sa section droite.
Voici comment se démontre la propriété énoncée dans le précédent paragraphe :
Considérons deux faces consécutives du prisme droit infinitésimal quon substitue idéalement au cylindre. La droite intersection de ces deux faces, et, sur chacune déciles, les éléments correspondants de la courbe enroulée, forment les trois arêtes d'un angle trièdre dans lequel on connaît deux faces et Tangle compris. En effet, les deux faces contiguës à Tarête du prisme sont u, et TT — û) — diù. Quant à Tangle de ces deux faces, il est le supplément de l'angle de contingence de la section droite.
( .o6 ) Donc , puique R est le rayon du cylindre , si de représente réléinent du cercle de base , Tangle en questk)n est
71 — — - • Or si l'on appelle ds rélément de l'arc de courbe
enroulée y^on a
de sorte qu en appelant A Tangle du dièdre suivant Farêle du prisme, & et c les faces adjacentes, on a pour ces trois éléments les valeurs suivantes
sin «>.</.(
A = TT — } o = w, c = Tr — b) — a».
Or Tangle C opposé à la face c est donné par la formule de trigonométrie sphérique
cotc.sin^ = cotC.sin A + cos^.cos A,
qui à cause des valrtirs ci-dessus devient — cot(&) -hf/&>).siD6>
. /sinw.cfeX /sin».^\
= cet C.sm ( — 1 — cosMços I — - — j ;
en réduisant et en ne conservaul que les infiniment petits du premier ordre, on tire aisément de cette dernière équation la relation suivante
^ rsin*»
tangC =
Or l'angle C est ici 1- angle du plan des deux éléments consécutifs de la courbe enroulée avec la première face du prisme, c'est-à-dire Tangle du plan osculateur avec le plan tangent*, c est ce que nous appelions a dans les paragraphes précédents.
En suivant une marche analogue, on démonti^ra que si Ton fait la transformée plane d'une courbe tracée sur un cène de révolution dont le demi-angle au centre est d, on a la relation
r sin' tù
tanc a = ,— ; ^ 9
^ (/+ rsmo>)tangd
dans laquelle / est la distance du point correspondant de la courbe donnée au sommet du cône , et par conséquent le rayon vecteur de la transformée , (ù Tangle de la tangente de cette transformée avec son rayon vecteur; rson rayon de courbure; a Tàngle du plan osculateur de la courbe primitive avec le plan tangent.
Eliminant a entre cette équation et la relation
p = r cos a , .
on obtiendra uue équation caractéristique pour les courbes qui, enroulées sur un cône de réi^olution, donnent des courbes dont le rayon de première courbure est constant. Ce qui renferme comme cas particulier la question du concours de 1 83 1 . En effet , pour revenir à celle-ci , il suffira de remarquer que , pour passer du cône donné au cylindie de rayon R, il faut concevoir que 6 tende vers zéro, et en même temps que / tang 6 tende vers R.
Paris, iL novembre 1859.
( 'o8) HOMOGRAPHIE',
Par m. poudra.
Problème. Etant donnés cinq points a, b, c, d, e appartenant à une figure quelconque Je l'espace y et les cinq points homologues a', b', c', d', e' d'une figure hamographique à la première j on demande de construire cette deuxième figure par des moyens analogues à ceux de la perspective.
Les quatre points a, i, c ^ d peuveut être considérés comme sommets d^une pyramide triangulaire; soit abc la base et d le sommet.
Soit de même a', b\ c\ d^ la pyramide homologue, et a'b'c* la base, et d' le sommet.
La droite de qui joint le cinquième point e de la première figure à r/, rencontrera le plan abc en un point /, qui sera homologue du point y, où la droite d' e' de la deuxième figure rencontrera le plan a'b'c*.
Supposons dans le plan abc une figure appartenant aa sujet donné , et dont font partie les quatre points a^b^c^f homologues à ceux a', &', c\ j' contenus dans le plan aVc* âiià la deuxième figure.
Ces deux figures planes situées dans les plans abc y a'Vc^ sont homographiques entre elles , et par suite homologiques-, il s'ensuit qu'elles peuvent se mettre en perspective; il suffit pour cela de placer en perspective les deux quadrilatères ahcf^ a'b'c'j'.
Soit O le point de vue. Regardons ce point comme appartenant à la première figure; il lui correspondra dans la deuxième un point O', qu'on déterminera ainsi : On
( »»9 ) joint o à /iet à e; ces deux droites orf, oe rencontrent le plan abc aux points respectifs geth^ qui ont pour homologues les points g' et A', où ces mêmes droites rencontrent le plan a'b'c', Joignons g' k d' et h' à c'. Ces deux droites g' d' ^ h' e' seront dans le même plan, déterminé par les deux droites f g^ h' et /' e' d^ \ donc elles se rencontreront en un point O' homologue de O.
D'après cela , il est très-facile de déterminer le point M' de la deuxième figure, qui est l'homologue d'un point quelconque M de la première. En effet, i** la droite MO rencontre le plan abc en un point //i, et le plan a'b' c' en un point homologue m', La droite O'M'm' est donc Thomologue de la droite OM/n, et passera par le point M' cherché, a*^. Joignons le point M à un point de la première figure, tel que rf, dont on connaît Thomologue rf'; cette droite Mrf rencontrera le plan abc en un point i , dont l'homologue /' sera à Tinterscction du plan a' V c' et de la droite Où'; il en résultera que la droite Mrf« aura pour homologue la droite M'cî't' passant par le point M', il sera donc à l'intersection de O'M'/w' et de Wd'i'.
Il résulte de la construction : i^ que la perspective plane de la première figure , sur le plan a'b'c' prise du point O, est la même que celle de la deuxième figure, sur le même plan prise du point O' homologue de O ; et 2^ que la perspective plane de la première figure, prise d'un point quelconque M de l'espace , considéré comme appartenant à la première figure, sur le plan abc y étant mise en perspective sur le plan a'Vc* pour le point O, donne sur ce plan a^b^c' une figure qui est la perspective plane de la seconde figure sur ce plan, pour le point M', homologue de celui M.
Ce qui donne un moyen très-simple de construction d'une figure homographique à une figure donnée, lorsqu'on connaît cinq points homologues des deux figures.
