MO
Au moyeu des cinq points homologues dans chaque figure, on les place dans la position indiquée ci dessus, où deux des plans homologues tels que abc^ a'b'c' seul en perspective pour un point O ci-dessus déterminé. On construit ensuite deux points homologues tels que M , M'. Alors la construction s'achève comme il suit :
Pour déterminer d'abord le point K' homologue d'un point ky on mène : i^ la droite KO qui rencontre le plan abc en K et a'b'c' en K', homologue de K. La droite K'O' passe par le point K' cherché-, ii? on fait la perspective de K sur le plan abc pour le point M. Soit n cette perspective 5 la droite //O rencontrera le plan a*b'c' au point /i', homologue de n , de sorte que /i'M' sera Thomologue de n M , et passera par le point K'.
Pour avoir la droite L', homologue d'une droite L, on fait d'abord passer par O et la droite L un pian qui coupe a't'c' suivant une droite, par laquelle et par O' faisant passer un plan , il contiendra la droite cherchée. Ensuite par L et M un autre plan qui coupe celui abc suivant une droite, par laquelle et O on fait passer un plan qui coupe a'b'c' suivant une droite^ par cette droite et M' faisant passer un autre plan , il contiendra la droite cherhée 5 donc , etc.
Entre deux figures homographiques ainsi placées, il existe, outre les relations métriques connues , les relations descriptives suivantes :
1^. Les deux figures ont pour droite commune Tin* tersection des deux plans abc , a'b'c',
a". Elles ont la droite 00' commune, mais seulement en direction-, on voit, en effet, que O' est Thomologue deO.
3°. Dans deux figures homologiques , les droites et les plans homologues étant prolongés , se rencontrent sur le plan dit àliomologie j dans les deux figures homographi-
ques ci-dessus , les deux plans abc^ a' b'c' font l^office de plans homologiques de la manière suivante, c^est que les droites et les plans de la première (igure étant prolongés jusqu'au plan abc^ et celles homologues de la deuxième jusqu'au plan homologue a'h' c'^ il en résultera deux figures planes qui sont en perspective.
4®. La perspective plane de la première figure sur le plan abc pris d'un point quelconque de l'espace, et celle de la deuxième sur le plan alb'c'i^T\h du point de vue homologue, sont deux figures en perspective pour le même point de vue O 5 d'où résulte que si les points de vue homologues sont O et O', la perspective de la première figure sur le plan a'b*c\ prise de O, sera la même que celle de la deuxième ) sur le même plan , prise de O'.
5**. Au plan à Tinfîni de là première figure correspond dans la deuxième un plan I à distance finie , et réciproquement aux points à Tinfini de la deuxième, correspondent des points situés dans un plan J à une distance finie.
Dans les figures homologiques de l'espace , ou ce que j*aî nommé perspectives-r^liejs ^ il y a un plan d'homologie et les deux plans I et J qui sont tous les trois parallèles ; dans les deux figures homographiques , il y a deux plans d'homologie et les deux plans I et J, et ces quatre plans ne sont généralement pas parallèles ; de sorte que si les deux plans d'homologie se réunissent en un seul , les points O et O' se réunissent aussi , les plans I , J et le plan d'homologie deviennent parallèles , et alors les deux figures sont homologiques.
TBRORlME SUR CINQ NOMBRES CONSÉCUTIFS
(voir p. 38);
Par m. L£ BESGUë.
Théorème. Le produit de cinq nombres consécutifs ne saurait être un carré.
Démonstration. C^est un théorème connu que , si une puissance /i'*"*% savoir
A"= a"P"7".. . (a, p,7,..., premiers),
est décomposée eu facteurs premiers entre eux , chaque facteur sera «ne puissance n'^"^.
De là suit que si dans un produit A.B.C» . . . , on met en évidence tous les facteurs premiers communs à plusieurs des nombres  , B, C, . . . , ainsi qu'il suit :
Arnî-a'^Sy .. A', B = 2«'3^'5>''...B',
il faudra', i*' que A', B', C',... soient des puissances ii'^«", eta^quelessommesa-ha'H-a"..., P -h P'-hi3 ''..., y^y'-\'y",..y soient multiples de /i.
Ceci posé, pour démontrer le théorème ci -dessus, il suffit de remarquer qu'il ne saurait y avoir d'autres facteurs premiers que a et 3 communs à plusieurs des cinq nombres consécutifs.
Voici les six seules hypothèses admissibles :
^'^ ^ û -h 3 = 2^3^^', fl+4 = *?';
fl -f. 3 = 2^^', « -f- 4 == 3^<?';
\ . aH-3 = 2>'A fl-h4 = r';
a étant impair.
fl = 2«3^û', fl-l-I=:^', « + 2 = 2^0',
( a="2*fl% a+ 1=3^6', fl-f-2 = 2^C%
g J ^ = 2*a', fl + I = A', <H- 2 = 2^33'c', f fl-f-3=:rf', «4-4 = 2^^';
a étant pair.
Comme a\ b\ c', li', e' doivent être des carrés , l'hypothèse (i) est impossible, parce qu'elle donne
L'hypothèse (2) Test aussi à cause de c'— «'=2.
L'hypothèse (3) Test également à cause de <?'-«'= 4.
L'hypothèse (6) est impossible à cause de
L'hypothèse (4) est impossible, parce que V étant un carré impair, a est divisible par 8 ; de là
7 = 1, « = 2 et 4^' — A' =3;
ce qui ne peut arriver que pour
ce qui n'est pas.
Amn. de Mathém., t. XIX. (Mars 1860. ) 8
Eofin, l'hypothèse (5) donne d^ carré impair^ par suite a est de forme
8ArH-6, donc a = i; et comme on a
^'-^2«'=3, d'où rf'4-«'=3(û'-»-i),
on aurait une somme de deux carrés divisible par 3 , ce qui est impossible; les nombres impairs non divisibles par 3 étant de forme
6/i±i, ont un carré de forme
et la somme de deux tels carrés est de forme
I2OT -h 2,
non divisible par 3.
Ce même théorème a été démontré ainsi par M. Al vin , élève de l'institution Jauffret.
Lemme, Le produit <7 (a-f- 3) de deux nombres qui diffèrent de 3 n'est pas un carré.
Corollaire. («' — 4) ('** — *) n*est pas un carré.
Théorème. Le produit
« — 2.«--I./ï./l-hI ./H-2=:(/l* — ^){n^^l).nz=:V^
de cinq nombres consécutifs n'est pas un carré, i^ pour n impair*, 2° pour n égal au produit d'un nombre impair /l'par une puissance paire de 2 (2*,/l > o). Dans ces deux cas, on est conduit & rendre [n^ — 4) ('»* — i) carré, 3**. Le produit P n'est pas un carré si /i = 2^**+^^ n' (Âr]>o, /l'impair). Car la plus haute puissance de 2 qui divise P est 2*f*+*J+*. 4^. Pour ti double d'un impair et de forme Sn'-h 2, on prouve par la considération du dîvi-
( "3 ) seur 3 (qui divise nécessairement un des uoiubrcs /i-»i), n, n-hi)y que 8«'-4- i et 8/i'-f-4 sont carrés conformé* ment au lemme. 5^. Pour n = 8/»'+ 6, la même considération du diviseurs montre quô Tun des deux nombres 8a'-i-5, 8/i'-h7 (rt — I, »-hi) est carré^ ce qui est impossible.
Il est donc prouvé que le produit P n'est jamais carré.
(TOlrUXUI, P.9S);
Par mm. BELLAVITIS, MANNHEIM Et Akgklo GENOCCHI.
Le triangle ABC a un sommet fixe  , un angle constant CAB ; les sommets B et C sont sur une droite fixe. L'enveloppe du cercle circonscrit est un cercle.
Lemme. La courbe réciproque d'une circonférence est une circonférence touchant les tangentes menées du pôle à la circonférence donnée. La courbe réciproque d'une droite est une circonférence passant au pôle et touchant en ce point une parallèle à la droite donnée.
Soit A le sommet fixe de Fangle mobile CAB. D'un point quelconque O de la perpendiculaire AD et avec OA pour rayon je décris une circonférence. Elle rencontre les droites AB et AC aux points E et F.
L'enveloppe des droites telles que EF est une circonférence^ puisque l'angle EAF est constant.
L^enveloppe des circonférences réciproques des droites EF est donc aussi une circonférence.
La courbe réciproque de EF passe par le pôle A et par les points B et C, réciproques des points E, F; elle est
(1.6) doiib la tiroonférence circonscrite au iriangle CAB. Donc, etc.
( *) . On peut employer la même méthode pour résoudre la question suivante :
D*un point S pris dans le plan d'une cîrconfét'ence O on mène une sécante SAB , on décrit deux circonférences passant en S et tangentes à la circonférence O aiêx points AyB, Le lieu des points de rencontre C de ces circonférences est une circonférence décrite sur SO comme diamètre.
Cette question donne lieu à un genre de transformation dans lequel â un point correspond un cercle, et à une ligne droite correspond un point.
Les questions que Ton obtiendra par ce procédé peuvent s'obtenir par deux transformations successives. A une question A en correspond une autre B, obtenue par la théorie des polaires réciproques ; à cette dernière en correspond une autre C , obtenue par la théorie des rayons réciproques.
La question C que Ton obtient ainsi aurait été trouvée directement, si Ton avait appliqué k la question A le genre de transformation dont nous avons parlé phis haut.
Remarque. Soit N la courbe polaire réciproque d'une courbe M par rapport à un cercle dont le centre O est quelconque. Le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point O sur les tangentes à la courbe N est la courbe réciproque de M. Réciproquement, la réciproque du lieu des pieds y etc.
De cette remarque on déduit immédiatement ce théo* rème important bien connu : La polaire réciproque d^une conique par rapport à un cercle décrit d'un de ces foyers
(*) Ce qui suit est de M. Mannheim.
("7) est un cercle. En effet , la projection du foyer sur* les tangentes est un cercle.
Un théorème analogue subsiste pour le triangle sphérique ABC , et se démontre par la projection stéréogFaphique, qui n est encore qu'une transformation par rayons vecteurs réciproques.
M. Genocchi ( Angelo) ajoute qu'on peut se donner un autre point fixe O dans le plan du triangle ABC, et supposer que Tangle constant soit BOC au lieu de BAC. On verra que le centre du cercle circonscrit doit encore parcourir une hyperbole. Si, au lieu de Tangle BOC, on suppose constant le produit OBXOC, le même centre parcourt une ellipse , et Ton trouve enfin une parabole si la
somme OB + OC demeure constante.
Dans ces difTérents cas, les enveloppes des cercles circonscrits seront, en vertu d'un théorème de MM. Quetelet et Sturm, les caustiques secondaires par réflexions relatives aux coniques. Ce sont aussi les lieux des perpendiculaires abaissées d'un point donné sur les tangentes d'une conique, comme Ta démontré M. Dandelin, qui les désigne sous le nom général de lemniscates. (Nouî^, Mém. , Acad» de Bruxelles, t. IV.)
THÊORBiE SUR UN MAXIMUM ARITHMOLOGIQUE
(voir t. XVllI, p. 449);
Par m. Joseph DERBëS, Élève de rin»titulion Barbet
Démonstration, \^. Soil r= 2-, N est pair, les deux nombres cherches sont - » - ; si IN est impair, les nom-
("8) bres cherchés, c'est-à-dire les deux nombres sont égaux ou ne diffèrent que d'une unité.
2^. Soit r un nombre entier quelconque*, si a et 6 désignent deux nombres composants de N, il faut, d'après ce qui précède, pour obtenir un produit maximum, que ces deux nombres soient égaux ou ne diffèrent que d'une unité. Ainsi N pour le produit maximum doit se décomposer en X nombres égaux chacun à A -h i, et en r — x nombres égaux à A*, de là donc
.r (X-f-i) H- (r — j:) A- = N = rX- -h j: = rk -h •»; donc
Ainsi X est connu et A =:r : donc le maximum est
Note du Rédacteur. Il reste à démontrer pour quelle valeur de r ce produit devient un maximum maximorum.
CnCLBS OSCVLATEIIRS BT SURPACB8 OSGULATMCES
daos les ligies et sirfaces dt dmièse ordre \
Pa» m. g. ducoroy,
Officier du génie.
