CC
liin 7- =r
Cherchons actuellement la partie CD de CT interceptée entre le diamètre PDO et Taxe des Y j Téquation de ce diamètre qui coupe en parties égales les cordes parallèles à Taxe des X est
bjr -k- 7.xz=io^
CI) esl la valeur absolue de rabscisse corrrespondaiilc à
d bd . , . , / -^bd \
1 ="---> ou — - --7- i\\\\ esl \v Hors {\v ( — -j-7~o] ; rr
f|ni (IcnioniKî lo ihcorrino cnoinr.
SOLliTION DE LA QUESTION :
Troifer la liaite vers laqielle teid le rapport do fide av pleia daos «ae pile de boilets, lorsque le lombre des boulets angnieite iidéBnimeiit *,
Par m. FLEURY,
Chef d'institution à Saint-Étienne.
Un boulet repose sur trois autres daus la pile triangulaire et sur quatre dans la pile quadrangulaire, ce qui pourrait faire croire que le rapport cherché ne sera pas le même dans les deux cas ] mais on peut remarquer que, dans Tun comme dans l'autre cas, chaque boulet de Tinté- , rieur de la pile est en contact avec douze autres, et que les centres de ces douze boulets sont les sommets d'un polyèdre qui a pour faces six carrés et huit triangles équilatéraux. Le rapport du vide au plein dans un de ces polyèdres ne donne pas le résultat cherché, parce qu'on ne peut les juxtaposer sans laisser d'intervalles vides entre eux , tandis qu'on le peut très-bien pour les cubes formés en prolongeant jusqu'à leur rencontre les six faces carrées de chaque polyèdre. Je vais donc déterminer le rapport du vide au plein daus chacun de ces cubes.
En prenant pour unité le diamètre d'un boulet, Tarêtc du cubé sera ^2 et son volume 2 ^2*
Le plein de ce cube se compose d'abord du boulet inlérieur et ensuite du quart de chacun des douze boulets en contact avec lui -, car deux faces du cube passent par le centre de chacun de ces douze boulets : la première en retranche la moitié, et la seconde la moitié de l'autre •moitié, en sorte qu'il nr rcsle dans le < ube (|uc \v quart des douze boulets. On a donc irois bfuilcts à ajouler au
( «o) boulet iiiléricur pour obtenir le volume du plein, qui se
trouvera ainsi représenté par -^' Le rapport du cube à
ce volume sera » et celui du vide au plein — 1,
ce qui fait un peu plus de -r-
Ce rapport sera la limite cherchée^ car il ne pourrait être modifié que par la partie superlicielle de la pile , qui est infiniment petite par rapport au volume total des cubes, quand le nombre des boulets devient infini.
La pyramide triangulaire ou quadrangulaire formée en joignant le centre d'un boulet qui repose sur trois ou quatre autres avec les centres de ceux-ci , est régulière et a toutes ses arêtes égales au diamètre d^un boulet. Le vide renfermé dans chacune de ces pyramides pourra se calculer en ôtant du volume de la pyramide celui de la partie occupée par les boulets. On observera ensuite que le nombre des vides de chacune de ces deux espèces est double du nombre de boulets, et cette considération conduira au résultat cherché, qui se déterminera exactement sans l'emploi des tables trigonométriqucs , en remarquant que dans la pyramide régulière à base carrée et à arêtes égales, les plus grands angles dièdres sont doubles des petits et suppléments de ceux du tétraèdre régulier.
Le moyen peut-être le plus expédilif , mais un peu détourné , d'arriver au résultat cherché , consiste à calculer, dans l'hypothèse d'un nombre infini de boulets, le rapport du volume d'une pile au volume des boulets qu'elle contient.
Je prends toujours pour unité le diamètre d'un boulet, cl je désigne par n Tarête d'une pile triangulaire^
— —' en représente le volume et - -// le nom-
bre de boulets qu'elle renferme. L'hypothèse de /* infini réduit cette dernière expression à —9 par Tomission des termes qui s'effacent devant n^.
Le volume des boulets étant alors -5^» le rapport de
celui de la pile à ce dernier sera 1 comme nous Ta-
vons trouvé plus haut.
SOLUTION DBS «UBSTIONS 483, 484, 485
(voir I. XVm, p. 357);
Par m. Emile FRANÇOISK,
Élève du lycét) de Caen.
Solution de la question 483.
D'un point B extérieur à une circonférence O on mène
Fk;. I.
deux tangentes BA et BC, on projette C en Dsur le rayon OA , et l'on fait exécuter une révolution complète à la figure autour de OA , Tun des rayons des points de contact, il faut démontrer que le volume engendré par le
Iriaiigie iiiixti ligne CHA est équivalenl au v6ue engendré par le triangle BOA.
On a , en eflet ,
vol. ABD=r :^ itÂb'. ad,
vol ABCD = ^7r(ÂBVcD' + AB.CD) AB,
vol. ABC=^irÂD' (3r- AD).
Soit ABC = «^ on a
AD = ABsina, CD = raina,
r étant le rayon du cercle.
Les expressions précédentes deviennent
vol. ABD = -wAB sina,
v<>I.ABCD=i7rAB*sina -4- ^tt r» ABsin^a 4- ^tt AB rsin'a,
vol. ACD =r TT BA rsin^a — ^wAB sin'a, vol.ABCD — vol. ABD ir ir ABsina I AB^sin'a 4- (AB - rsina)' J
:.-. .U ABsina [ ad' 4- ( AB — CD)-]
= ~Tr Ab' sin'az^rvol. ABD,
( ,3) Solution de la question 48 t.
La méine figure étant faîte que précéJemuieiU , et exécutant la même révolution , il faut prouver que le segment spliérlque engendré par CDÀ est équivalent au volume engendré par le triangle CBD.
En effet,
vol. CBD = vol. ABCD — vol. ABD , vol. CAD = vol. ABCD — vol. ABC, et comme
on a
vol. ABC = vol. ABD, vol. CBD = vol. CAD.
Solution de la question 485.
Le volume compris entre un cône droit AS A' et deux
FiG. 2.
sphères O et C qui le touchent intérieurement et se tou • client elles-mêmes extérieurement, est la moitié du vo-
lumc compris entre le cône el la sphère qui passe par les deux cercles de contact.
Lv volume compris entre le cône et la sphère qui passe par les points de contact a pour mesure
^ iT Bd' . EF.
Je mène GH tangente commune aux deux circonférences.
Je joins GF et GE-, on a
