ÉQUATION DU QUATRIKME DEGRÉ
i . Soit Téquâtion
\ rt«x'-h rï,x^-+-/72.r2 + ^jX -f. rt, = o,
] (a,, a,, aj, a,).
On a
//o («iH- «2-1- «3+ a, ) -f- «I = O ( relation d'Albert Girard )
Calculons réquaiion qui a pour racines
(a3 4-x»— a,— a-;)», [jc, -4- z,— (a,-f- a, )]■', [a, f a, - (;«,+ a, ) ]% uu, ce qui revient au même, qui a pour racines
f ^1-^- 2/?o(g,-f-gOy
On obtieni
t'est la réduite.
Soient r', rj, r\ les trois racines tie cette réduite j on trouve facilement
4 a. «1 -— a* ( r, -f- Tj 4- r^ ) H- a, = o,
OÙ les r ont le double signe dz ; donc celte dernière équation équivaut à huit équations. Ainsi, «4 a huit valeurs, dont quatre sont les racines de l'équation donnée et les quatre autres sont les mêmes racines, changées de signes. En effet, Téqùation qui a pour racines — a, , — «j, — «8, — «4 est
( 2 ) flo-r* — a, j:^ H- <ïj x^ — rtj a: -h /i, = o.
Cette équation a même réduite que Téquation (1)^ c'est ce qu'on voit à priori, d'après la forme des racines de la réduite, et aussi à posteriori, car il n'y a que «, et a-^ qui aient changé de signes.
Posons
/lo r, = n, -+- 2«o (a, -h g, ) ,
( iC ) On a
4//ua,4- «..('"i 4- r. — r,"! -4- ^1, = o, 4 ^', a.T -f (1^ [ /•, -h ;•.. — T;, ) H- tf , ==i 0 , 4«tfa, 4- <?«(/•, -h /; — r,) H- a, = o ;
changeant les signes de r, on a les quatre autres racines. II s'agit maintenant de savoir lequel des deux systèmes de racines s'applique à l'équation (i).
Dans les deux systèmes, la somme des racines a mène à la relation d'Albert (jirard, et les r disparaissant, on n'a aucune indication sur les signes des r\ la somme des OL pris deux à deux , ou quatre à quatre , donne évidemment le même résultat dans les deux systèmes; il reste à prendre les a trois à trois.
160; a, oLi==^a\[r\ — r\ — rj -f-2r, r,] -f- 20, a.rjH-aJ ,
4fl,(a3-4-a«) = i(a.r^ — û,j, [a, aj (aa H- «, ) -+- «3 x« («, -h a,) ]
ainsi,
8flJ[a,a,(a5 4- a.) -h aja^Oi-f- ^01 = ^\ ''^ '"j^'a+'^j [«î — 4^»]-
On a donc
a, at a.^ -t- a, a^ a, -j- y., a-, a, -f- a^ a, «4
^'.i f'\ n r. r. -h fl J — 4 ''o «I ^a
d ou
11 faut donner aux rdes signes tels, qu'ils satisfassent
< »7) a cette équation ] et cette condition suflEt pour faire cesser l 'indétermination .
Si at = o (ao étant positif) , il suffit que Ti , r^ , r, donne un signe opposé à at ; règle connue.
Exemple :
**-+- ?.4^-^ 4Ô^H-52=.o; réduite
0»-hiaG^-hi3e — 36 = o.
On a
d'où
r, =: db I , r, = ± 2 / , Tj =■ — 3 1 ;
il faut prendre les signes de manière que ri t\ r, ait le signe moins. Donc
r, r= — I , r, = 2 1 , /j = — 3 / , et
Cet exemple est pris dans les Comptes rendus (juillet i858, p. 3i)^ ce quon lit là-dessus p. 32, parait superflu. Une telle observation m'a iié aussi communiquée par M. Macario, élève des Ponts et Chaussées de Naples.
4mi. dé Mâthémtt., t. XIX. (JiavUr \^6ê.)
Svr les foBClioBs sjiétriipes des raciaes conues i Imi éffvitioDs;
Par m. Ed. DEWULF,
Capitaine d a génie.
I. Dans un Mémoire inséré aux jénnales de Mathàmathiques de Gergonne , Abel a donné un moyen de cal* culer une fonction quelconque d'une racine commune à deux équations. Ce procédé exige que les équations n'aient qu'une seule racine commune.
On peut ainsi calculer une fonction 6y métrique des racines communes à deux équations , quel que soit le nombre de ces racines, et par suite ces racines elles-mêmes.
