Soient X, Y, Z les quotients diiféreiilicls de I équation

on a pour les lignes géodésiques

(Yr/z~Zr(r)rf^a:-f-(Zdi:-hXr/2)^i»J-4-(Xr/r— Yr/x)r/^t=o,

.et pour les lignes de rourbure

[Xflz — 7.(îy)d\'\- VLdx —y.flz)d\ 4- i X </Y— Yrfx) HZ = o.

{ »39 ) Désignons , pour abréger, ces deux équations par

J = 0, J'rro;

M. Joacbimslhal a prouvé (*) , en employant une formule de Jacobi , que Ton a

__ dX d^x -h dY d'y -^ dZd' z Xdx -hY dy-hZdz •^ dHdx-^dYdy-^dZdz "^ X'-4-Y»-hZ»

dxd^x-hdrd^Y-^-d^zdz

dx^-^dx^-hdz^ Supposons que

«oit une intégrale de cette équation différentielle^ C est une constante, ;>, p',. . . sont certains paramètres, par exemple : les diamètres. de la surface qui sont parallèles aux tangentes ou aux tangentes conjuguées des lignes géodésiques et de courbure auxquelles l'équation (7) se rapporte; des rayons de courbure de sections normales qui passent par ces tangentes -, des perpendiculaires abaissées du centre sur ces tangentes ou sur les plans tangents; des distances polaires (Journal de M. Liouville, t. Xin, p. 4^5), etc. Comme Téquation (7) représente en même temps les lignes de courbure et les lignes géodésiques, elle doit établir la liaison intime qui existe entre ces deux espèces de lignes ; et Ton pourra en général dire, du moins dans tous les cas où il n'y a pas d'autres paramètres danar l'équation (7) que ceux que je viens de citer, que la constante C a la même valeur pour toutes les lignes géodésiques qui sont tangentes à la même ligne de courbure. Maintenant nous pourrons distinguer plusieurs espèces de surfaces :

i°« Surfaces où à chaque ligne de courbure convient une valeur spéciale de C , différente des autres.

C) Non» noiifc proposons de donner cette démonstration. 1m.

Une ligne géodésique ne peut être tangente qu'à une seule ligne de courbure \ elle coupera toutes les autres qu'elle rencontre. Pour toutes les lignes géodésiques qui sont tangentes à la même ligne de courbure dans les points où elles rencontrent une autre ligne de courbure, la constante C aura la même valeur dont nous avons Téquation

qui établit des rapports entre les paramètres p^ p'? • • • et p^.p\j. . , pour les points de rencontre.

Si la surface a un ombilic , ce sera de même une valeur particulière de C qui lui correspond ; donc toutes les lignes géodésiques qui passent par un ombilic couperont les lignes de courbure sans toucher aucune d'elles. Prenons, par exemple , une surface conique et développons-la dans un plan. Les lignes de courbure se changeront en cercles concentriques et les lignes géodésiques en droites, et comme une droite ne peut toucher qu'un seul des cercles concentriques, et qu'elle coupe tous les autres cercles, les lignes géodésiques sur les surfaces coniques ne touchent qulune seule ligne de courbure et coupent toutes les autnes.

2^. Surfaces où une même valeur de C correspond à deux lignes de courbure.

Chaque couple de telles lignes divisera la surface en trois parties ou zones , Z , Z', Z'', dont elles enferment la moyenne Z^ Toutes les lignes géodésiques^ qui touchent la première ligne de courbure traverseront la zone Z' en coupant toutes les lignes de courbure qui s'y trouvent, puis elles toucheront la seconde ligne de courbure qui limite cette zone, et après elles parcourront une seconde fois cette zone , et ainsi de suite, en y formant des tours innombrables qui sont limités par les deux lignes de courbure. Si ces surfaces ont des^ ombilics, elles en auront en général quatre, auxquels convient la même va-

leur de C ; toutes les lignes géodésiques qui partent d'un même ombilic se coupent dans un autre ombilic. Voici des exemples de ces surfaces : la sphère, Tellipsoïde, les hyperboloïdes ^ les surfaces de révolution qui sont symétriques par rapport à un plan équatorial, perpendiculaire à Taxe de révolution , et en général aussi les autres surfaces qui sont symétriques par rapport à -un plan.

3°. Si la même valeur de C convient à plus de deux li-» gnes de courbure, on ne pourra en général dire que les lignes géodésiques sont enfermées dans des zones limitées par deux lignes de courbure seulement; mais il peut arriver que la même ligne géodésique touche trois ou plus de lignes de courbure. Développons, par exemple, une surface développable dans un plan, Tarête de rebroussement se changera en une courbe plane; les tangentes de cette courbe et celles des courbes parallèles qui coupent orthogonalement les tangentes à l'arête de rebroussement, sont lés transformées des lignes de courbure , des lignes droites tracées dans le plan sont les transformées des lignes géodésiques. Or il arrivera souvent que les droites touchent trois ou plus des courbes parallèles , et dès. lors on conclura que dans une surface développable les lignes géodésiques peuvent loucher trois ou plus de lignes de courbure (*).

■ ■ . . fc 'ai

(TOir t. XVII, p. 186;;

Pam mm. l. brault, laquière, e. ragonneau, marque! bt dalican.

Quelle est l'enveloppe de la droite dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est donnée?

(*) Je ne sache pas que ces belles relations de contact entre les ligne» géodésiqueft et de courbure aient déjà été signalées. Tu.

( Ma)

Soient A , B les deux points donnés. Prenons AB pour axes des x , et pour axe des y une perpendiculaire élevée sur le milieu de AB. Appelons 12e la distance AB.

L'équation de l'enveloppe s'obtiendra en éliminant a et b entre les trois équations suivantes :

(i) ^ X =ax-^ b,

La première équation est Téquation d'une droite quelconque; la deuxième exprime que la somme des carrés des distances des points A et B à cette droite est égale à A'-, enfin, réqualion (3) n'est autre que

quand on suppose les équations (i) et (2) ramenées à la forme

L'élimination est assez simple et donne pour résultat

(4) 2(2C^~-/-')j2— 2/-'jc'= A»(2C' -/•').

Discussion,

Dans ce cas l'équation (4) représente une ellipse. Les demi «axes sont

Les foyers se trouvent sur l'axe des y^ leur distance à l'ongînc est égale à la distance des points A et 6 à cette même origine.

L'équation (3) nous donne x=:o, c'est-à-dire l'axe des y-y ou plutôt une portion de l'axe des y. L'analyse devait conduire à ce résultat. Supposons en effet 2 c* — à' différent de zéro : 2c' — A'= e. Nous rentrons dans le cas précédent. Le lieu est une ellipse dont le demi grand axe est

-z:» et dont l'autre (5) tend vers zéro avec e. A la limite V2

(£ = 0) Fellipse se réduit à son grand axe^ nous avons là une sorte d^ ellipse ésfanouissanle.

Or à toute ellipse on peut mener deux tangentes parallèles à une direction donnée. Considérons donc une certaine direction et une ellipse, correspondant à une certaine valeur de «. Nous trouverons toujours deux tangentes à cette ellipse , parallèles à la direction considérée. Chacune de ces tangentes sera d'autant moins éloignée du sommet le plus voisin du grand axe, que e sera plus petit. Ces distances convergent vers zéro avec e. Nous sommes donc, par ces considérations, amenés à ceci : que louic droite passant par les points

est telle , que la somme des carrés des distances des point» A, B à cette droite est égale à 2c'. C'est ce qu'on peut vérifier directement.

L^équation (4) représente une hyperbole rapportée à ses axes. L'axe imaginaire est dirigé suivant Taxe desx. La distance des fojcrs à Forigine est égale à c.