A« -" 6-hAa

Les coordonnées des points M, H, P se trouvent par des formules analogues. On connaît d'ailleurs le coefficient angulaire de la tangente en N. Or on sait, par une formule précédemment établie , trouver Téquation d'une conique passant par quatre points , connaissant le coefficient de la tangente en un de ces points^ cette équation

aura rîndétermînée A, ce sera donc Téqualion générale des coniques tangentes à quatre circonférences données. Si on lui applique les deux équations qui donnent le centre en éliminant entre elles A , on aura le lieu des centres.

QUESTIONS DEXAHBN SUR LES GONiQUIS;

Pau J. t. y Abonh^.

Lieu décrit par le milieu d^une droite de longueur constante, dont les extrémités glissent sur une ellipse.

Soient a/ la longueur de la corde, x\ y\ x", y" les coordonnées de ses extrémités, x eX. y celles de son mi« lieu. Pour résoudre la question, il faut éliminer x\ y', x", y" entre les cinq équations suivantes, qui expriment les conditions du problème ;

Ces relations donnent, pour Téquation du lieu cherché,

{*) Lorsque / = « ou / = A, la courbe doit se condenser au centre; comment? et que devient la courbe lorsque 2 / sijrnifie le (rrand aie? Tm.

( ^o7 ) Remarque /. Dans le cas où a = i, relHpse se réduit à un cercle, et Téquation devient

ce qui doit être.

Remarque II, La surface comprise entre la courbe et Tellipse a pour expression tt/*, d'après un théorème de M. Holdisch. La formule 3e vérifie immédiatement dans le cas du cercle.

Si la droite glisse sur une parabole, un calcul entièrement analogue donne pour équation du lieu

(j«— ipx) (x'-hp') -4-/?'/' = o.

Déterminer, dans le plan d'une ellipse, un point tel, que Ton puisse mener deux tangentes égales à la courbe.

Soient x^ , yi les coordonnées du point cherché. La corde de contact correspondante a pour équation

et la perpendiculaire abaissée du point sur la corde

Éliminauty, on a pour la valeur de Fabscisse du pied de la perpendiculaire

Si Ton exprime que cette valeur est celle du milieu de la corde de contact, il est évident que les tangentes seront égales.

Les abscisses des points de rencontre de la corde de

contact et de Tellipse sont données par rélimiualîon de ^ entre les équations

ce qui conduit à Téqualion

{aH^X* -^ *' ^î)^' — 2^' ^'•^^' H- fl* A* — rt' b^x] = o;

d'où

2 fl'^'rî + ^**î

La condition à laquelle doivent satisfaire Xi et/i dans le cas des tangentes égales est donc

aH'y'.-^b^x] a^yl-hb^x] '

c«ttc équation est sajtisfaite, même par Xi=o ou par y, = o , c'est-à-dire pour des points situés sur les axes 5 de plus, simplifiant, on a

a^X]^b'x]'' a*x]-hb*x^^ '

d'où Ton déduit comme facteur

a*X^-{-b'x\=za^b\

ce qui donne tous les points situés sur Fellipse. En effet, alors les deux tangentes sont également nulles ^ de même pour les deux autres coniques.

Deux poids P et P' attachés aux extrémités d'un cordon reposent sur une ellipse dont le grand axe est vertical.

( .W9 ) Déterminer la relation qui existe entre les poids et leâ ordonnées correspondantes à la position d'équilibre*

Soient M et M' les points correspondants à la position d'équilibre. Les poids seront^ par rapport aux tangentes menées en ces points, comme sur deux plans inclinés. On aura donc, dans le cas de Téquilibre, a et a' étant les angles que font les tangentes avec le grand axe,

Pcosa = P'cosa';

or, Péqnation de la courbe étant

OD a

cos a = et cos a' = -

et par suite Féquation de l'équilibre devient

d où

el remplaçant x^zl a:'* par leurs valeurs déduites de Féqualion de la courbe, il vient

(fl»— *») (P» — p'^)/»r" = *• (P^y — PV')v

d^où, enfin,

(pa^p^»)(fl»-.^>) P^ P^

équation qui exprime la relation qui existe entre les poids P et P', el les ordonnées^ et y' des points correspondants à la position d'équilibre.

Un calcul entièrement analogue conduit, dans le cas delà parabole, à la condition

pa p'i p'2 pa

A»n. de Malh^mat.. t. XIX. (Juin iSGo.) l4

contact et de l'ellipse sont données par l'éliminalion de y entre les équations

ce qui conduit à Téquation

(^î^aj, 4-^4x|)x» — la^b'xx, ^ a' b* — n' b^x\ =<>; d'où

La condition à laquelle doivent satisfaire Xi ei/i dans le cas des tangentes égales est donc

aH'yl-^b^x] a^x^^-b'x] '

cette équation est sajlisfaite, même par Xi=o ou par yj = o , c'est-à-dire pour des points situés sur les axes j de plus, simplifiant, on a

a^y]^b^x] a*x]-hb'x] '

d'où l'on déduit comme facteur

a*X^-{-b'x\=za^b\

ce qui donne tous les points situés sur l'ellipse. En effet, alors les deux tangentes sont également nulles \ de même pour les deux autres coniques.

Deux poids P et P' attachés aux extrémités d'un cordon reposent sur une ellipse dont le grand axe est vertical.

( aop ) Déterminer la relation qui eicista entre les poids et led ordonnées correspondantes à la position d'équilibre*

Soient M et M' les points correspondants à la position d'équilibre. Les poids seront^ par rapport aux tangentes menées en ces points, comme sur deux plans inclinés. On aura donc, dans le cas de l'équilibre, a et ol' étant les angles que font les tangentes avec le grand axe,

P cos aLz=zV' CCS a' ;

or, l'équation de la courbe étant

on a >

cos a = et cos oc = , ;

^a'y-" H- b' x" \/a*/' H- b' ar"

et par suite l'équation de l'équilibre devient

d'où ,

et remplaçant x* et x'* par leurs valeurs déduites de Téqualion de la courbe, il vient

(pt-. ia)(P»— F') j»/> = i< (P^y — P«^»);.

d*où, enfin,

(P^^p^»)(fl»^»)__p^» pi

équation qui exprime la relation qui existe entre les poids P et P', et les ordonnées y et y^ des points correspondants i la position d'équilibre.

Un calcul entièrement analogue conduit, dans le cas de la parabole, à la condition

pa p'i p'2 pj

Aitn, de Mathémat., f.XlX. (Juin iSGo.) l4

présenunt un point d'arrêt en P, le point P ayant une

Fie. 3.

a))sci8se telle, que f(x) reste réel quand x varie de AP' à Apprenons la courbe j" =f[x) et augmentons ses ordonnées de Af (a:), nous aurons une courbe présentant deux points d'arrêt sur la même branche* Exemples :

J^ = ^l-X'-f.^Kl7,...

3®. Il arrive quelquefois que les courbes jr = (f{x) présentant un point d'arrêt ont une asymptote parallèle â l'axe desj^; en transportant alors Torigine sur Taxe des/ demanièrequelepointd'arrêtnesoitpas sur Taxe desx, on a une équation telle quej" = a + f (x), jci alors la courbe

présente deux points d'arrêt.

Exemples :