REMARQUES

sir fielqies proluU 4oat ks faetean soit ei progressioi iritluiiétîqae;

Pau m. Mamb-Pibmx-Adolpbb GUIBERT.

!• Si Uf T sont premiers entre eux, etr*<^a'" — i, le produit (u — r) n (n-f-r) ne sera pas la puissance /ii***' d'un entier.

Admettons qae ce produit soit une puissance exacte du d^ré m : comme n est premier avec. les deux autres facteurs n — r, n-f-r, il faudra que n, /i* — r* soient des puissances m**""' exactes a"*, 6"* -, on aurait alors

ce cpii ne peut être.

n. Le produit P de huit entiers consécutifs rC est point un carrée

Soit

Ce produit équivaut à

(/»*-f- 2/1* — g/î' — io/i-f-4)* — 16(2/1 H- i)*; donc

P<(/î«-h 2/ï» — 9/1* — lO/l + 4)'.

La différence P — (/i*-!- 2/1' — 9/»' — i07H-3)% égale à 2 n* + 4 '^^ — 82/1* — 84 » — 9, reste positive tant que n est supérieur à 6 \ donc, pour n > 6,

?>(/!* •+• 2/ï» —9/1' — lO/ï -f-3)*.

Ces inégalités prouvent que pour n>6, P n'est point un carré, par conséquent P n'est jamais un carré, puisque d'ailleurs on n'obtient aucun carré, en prenant n égal à l'un quelconque des nombres 4? S? 6.

( a,4) On déduit de là que le produit de trois nombres *e/itiers consécutifs nest une puissance exacte d^ aucun degré.

III. Le produit de trois nombres entiers en progression arithmétique nest jamais un cube.

Le produit en question est susceptible d^ètre représenté

par

d étant le plus grand commun diviseur entre U raison et l'un quelconque des termes de la progression.

Supposons que ce produit soit un cube ; /i — * r et 7t + r éunt premiers avec n, (« — r), (/»-Hr) et /i devant être des cubes. Soit

Si Fun des nombres /i, r est pair, n — r et /t+r n'auront pas de diviseur commun, chacun de ces facteurs devra être un cube; mais leur somme est égale à a 71, c'est-à-dire à a a', on aurait donc la somme de deux cubes égale au double d'un cube, ce qui est impossible.

Si les deux nombres n, r sont impairs, le plus grand commun diviseur de n — r et de /i + r sera a^ leur produit ne pourra être un cube que si Tun est le double d'un cube et Tautre égal à quatre fois un cube, ce qui donne toujours une égalité semblable à celle-ci :

de laquelle on tire

résultat encore impossible.

IV. Le produit de six, de neuf nombres entiers coiué^ cutifs nest point un cube.

Soit d'abord

V^[n -2)(/ï — i)/i(iï4-i)(/i4-2}(/H-3).

(a.5) Ce produit n'est pas un cube quand /i = 3; nous allons prouver qu'il n'en est pas un si n est plus grand que 3. On a identiquement

d'où

mais la différence 3»P— (3/ï«4- 3» — 9)% égale à

27^1* -h 54/1» — 378/1? — 4o5ii — 295,

est positive tant que n est supérieur à 3 ; par conséquent, dans cette hypothèse,

donc P n'est jamais un cube.

En derpier lieu, considérons le produit de neuf nombres entiers consécutifs

P=(«-4)(«-3)...{in.3)(ii4-4);

observons qu'on n'obtient aucun cube, en faisant n:= 5, 6, 7, 8, 9, 10 : il suffira de prouver qu'on n'en obtient pas non plus lorsque n est plus grand que io« Or P revient à

(fi»—io«)*— (27/1»— 180/1»— 576/»), d'où P<(/i»— lo/i)»;

car 27/1'-— 180 /i* — 576 » est une quantité positive^ si, comme on le suppose, on a /» >> 10; mais, en soustrayant de P le cube immédiatement inférieur au précédent, on obtient la différence

3/1* — 27/1' — 6o/i*H- 177/»»-+- 3oo/i'-h 3o/i +576,

laquelle est aussi positive dés que n est supérieur à 10, ce qui donne

P>(/I*— ÏOi«— 1)».

Par conséquent P n'est un cube dans aucune circonstance.

(a.6) TROISIÈME SOLUTION DE LA aUESTION 413

(TOtr p. 83} ;

Par M. FaAirçois SIACCI (de Rome).

Soient P un point d'une conique , C le centre de courbure en P, Q le centre de la conique; par C on mène une parallèle à la tangente en P; soit D le point où cette parallèle est rencontrée par le diamètre OP : on a CD égal au tiers du rayon de courbure de la développée en C.

(Abel Tramsom.)

Soient p le rayon de courbure de la conique au point P, et R le rayon de courbure de la développée au point C ; soit f l'angle que la tangente au point P fait avec Taxe des a:; soient enfin 5 et S deux arcs pris à partir des points P et C sur la conique et sur la développée. Nous aurons

mais dp = dS\ donc

Soit maintenant A Tangle que fait la tangente au point P avec le diamètre PO. On aura, le triangle PCD étant rectangle en C ,

CD = CP cet A = p cot A.

La question, par conséquent, se réduit à démontrer leq nation

£—£=: 3pcol A, ou bien -7^= 3 cot A. </5 *^ as

Soit en général (i) ,r'= Ax'-haBx

Téquation de la conique , e étant Tangle des demi-axes. Ou

aura

, Ax-f-B

/ X } y Ar'— (Ajr-*.B)> B»

donc

^ 3B»(AjpH-B)

et remplaçant j"', y^'^y^ au moyen des équations ( a), on aura ^ réductions faites ,

\ ds sine

^ ) ^^(Bf(Aj?4-B)-^-rcos«]— (Aj?+B)[j»-f-fAjr-f-By-har(Ar^B)co8i]j

Dans Téqualion (i), Torigine des coordonnées se trouve sur un point de la courbe. Ce point, pouvant être quelconque, supposons que ce soit le point P. On aura

xi=o j^ = o, f=:A;

ces valeurs étant substituées dans Téquation (3), on trouve, après avoir exécuté la division ,

,-= 3cotA, as

» fi

t II

■Snl-

6V Le dénominateur de r est égal à 7-7; chassant ce déno-

minaieur dans Tëquation (2), et multipliant les deux membres par^A , on a

(3) 6rV = y/(j/»ç'*'M),

en appelant M la quantité sous le radical dans le numérateur de r.

En comparant les notations de Legendre a^ec celles de M. de Staudt, on voit que

K=: la hauteur du tétraèdre correspondant à A. (Legendre, livre III, théorème XXXII.) Cela posé,

mais

/'a =r g' + A» — 2^// cos a,

g'^^-f H- A»- a/A cos 6, /«'» =/» 4- ^' — 2/^ cos 7.

Remplaçant dans Féquation (4) /", g**^ A'*, par les valeurs précédentes, on trouve, après calcul fait, pour co', la quantité sous le radical dans le second membre de Téquation (3); donc,

6rV = w;

mais

V = ^KA, 6rV=2rKA = », «=2rKi

donc,

A'ii r= 01.

Le triangle A' dont les côtés sont ^=^9^9 -^9 9. pour surface

\/iâ{^/'f'g'g"+ 2/V /r A'*^. 2^V' AVi'^-Zr* -^^*- A* A'O

(5)JL2L

Donc

et 9 par conséquent ,

DÉMONSTRATION D*u AétrèBc de H. Gijlej sir les relatim eiIre les feietiais de Slm (*) ;

Pa& m. V. DE ZEIPEL,

Doyen à Tunivenité d^Upsah

Quarterlr Journal ^ mai 1869.

1°. Soient opérant comme pour la recherche du plus grand commun

(') Journal de M. Liouville, t. XI, j». ^97-2995 i8/|6.

diviseur, on obtient

/(x) = ^,R, H-R,, Ri =:^sRs + Rsi

Rn-ï = Cm Rii- 1 -+• Ru ; éliminant les R , on obtient

R. =:ff^(x)¥x-h^n{x)fjC,

Il faut déterminer les A et les B de manière que R„ devienne de degré m — /i j de sorte que les termes d'ordre supérieur s' annulant en

R. = (fl.A.-i.^B,)jr-^— « + (fl, A.-f- «.A. -f- ^B,+ Mi)«"+— ' -+-(fl»A.-i-fl,A,-+-fl.A, + *,B. + ^,B,-hMO***^-H...;

tous ces termes jusqu'à x"-'»+* inclusivement doivent disparaître; ce qui donne ces an— i équations de condition

<i«At-»-o H- G -ho H-o = — ^«B»

at Ao + fl,A,-htf,A, -f-^, B, + 6,B,..=— ^,B.

«3 A, + <i,A, + fl,A, + *aB, -h^.B,. .=-.^,B,

<îi»-.iA«4-^iii-jA|-hfli»4 Ai...H-^aii-sB,-f-^ai,^Ba...= — ^M sBc

On déduit les valeup de 'in — i quantités Ao, A|,..., A„«i,Bi, Biv'-îB„-i de ces 2/j — i équations, parla

( 2aa ) méthode de Cramer. A cet efTet, posons

\atbt

fl, /?» ^1 ^,

Pour avoir P,, on change dans P, la dernière ligne les indices en r+3 ^ (r) désigne les accents.

et de là P.''' en changeant les indices en r + ^ dans la dernière ligne.

Les P, se forment en prenant dans chaqae ligne des. 2n — I équations s termes à partir de la seconde ligne.

On a donc

fl.

tf»

Oi Oq o .

. bt O O

. bi. b^ o

b, bx b.

bi b, bi

bt bi bt

I fi-im—A ^l»—» . » • . ^xii— 3 b^

(«3) et , en général ,

<fi a^ o. . . o o o... o ^1 bt

at Hi /7« . . . o o o . . . o b,'

a^ /la 01 . . . o o o . . . o b^

tf<^3...

o bi^x

tf /-t . • •

«ÎL-l...

tft

o bi^x

«i»--i «u-3 tfan-i... flrMi-.(,-|.i) <Ii,i-(|-+î) «î«-<i+3)««- ^11 ^»i— » ^ïn-ï

Pour avoir S, on remplace dans le déterminant précédent la première ligne par x"""*, x"""', x"~*, . • . , o, o, o , et

^,. {,)=(,)' -A Tj

pour avoir T, on remplace la même première ligne par o, o, o,x"~S a:""', x"~*,. ..H-5 delà

»- = (— )-^U; remplaçant la même ligne par

on obtient U.

Faisant

on a

(aa4 )

mettant dans U au lieu de F (a:), f{x) les développements, et ne conservant que les termes de degré m — n et inférieurs ) on a

Rn=±(— 0*"*"'P«'^"" + P»*""*"'-»-Pn-="

n est quelconque; r, 5, t étant des nombres entiers positifs, on trouve par le procédé ci-dessus les valeurs de

?r» fi, fti

Rr, R,, R/; on a identiquement les deux déterminants

ajoutant

ou bien

C'est la relation découverte par M. Caylcy.

PROPOSITIONS SEGMENTAIRBS

sir 11 piriye, Phyperkle éqiililère el propriété li cercle priKipal

de Fellipse;

Pae m. Arthue LESCâZE,

Elève à Sainte-Barbe ( cours de M. Gerotio).

Proposition I. Le produit des distances du sommet d'une parabole à une tangente quelconque et à lacourbcj distances comptées sur la même droite, est constant.

Soient

Téquation de la parabole rapportée à son aie et à sa tangente au sommet S ^

l'équation d'une tangente quelconque en fonction de son coefficient angulaire m;

l'équation de la perpendiculaire SP abaissée du sommet S sur la tangente. Enfiui soit R le second point de rencontre de SP prolongée avec la courbe. Cela posé, on a

(0 SP = . ,/ , r»

d'après la formule connue qui donne la distance d'un point S à une droite.

Nommons (x',j'') les coordonnées du point R. On

Ann. de Mathémat., t. XIX. (Juin i86o.) l5

( aa6 ) aura

éliminant o:' eijr\ il viendra

(2) SR' = 4/?»TO*(m»-f-i).

Multiplions les égalités (1) et (2) membre à membre et extrayons la racine carrée, il vient

SPXSR=/?».

Remarque 1. Cette remarque peut être utile dans la résolution de certainsproblèmes. Soit proposé, par exem* pie, de construire une parabole dont on donne une tangente, le sommet et le paramètre. On aura immédiatement un point R de la courbe, en abaissant du sommet donné S une perpendiculaire SP sur la tangente et déterminant le point R de façon que

SPXSR=;i».

On sera alors ramené à cet autre problème dont la solution est connue et fort simple : Construire une parabole, connaissant le sommet, . le paramètre et un point de la courbe.

Remarque //• Il y a une démonstration plus simple de la proposition. Le lieu du point Pest, comme on sait, une cissoïde dont l'équation est

/?-h2jr' passant aux coordonnées polaires, on trouve

osin'a

( 3^7 ) l'équation polaire de la parabole est

2/7COSa

^~" 8iii»a '

le produit des deux rayons vecteurs p est — p^.

Note du Rédacteur, M. Lescaze est Tingénieux auteur du Lemme qu'il a proposé comme question {yoir t. XVDI, p. 171), et qui a été démontré par M. Joseph Vigne (voirt. XVIII,p. a65).

Proposition II. Le produit des distances du centre d^une hyperbole équifat ère à une tangetUe quelconque et à la courbe^ distances comptées sur la mente droite y est constant.

Soit en effet

l'équation de l'hyperbole équilatère rapportée à ses axes. Je désigne son centre par 0, par P la projection de ce centre sur une tangente quelconque et par R Tun des deux points de rencontre de OP avec la courbe.

y = mx -f- \a^m' — «^ = mx -i- a ^ m^ — 1

étant l'équation d'une tangente quelconque à la courbe^ on a

Cherchons OR , nommons x\ y* les coordonnées du point R, on aura

d'ailleurs

x'^— /'=«» el y=: — -i.^'.

(aa8) Tirons a:'* et j^'* de ces deux dernières expressions et portons dans

il viendra

a^m'^ a} £ï'(/ii'-h i)

multiplions les égalités (i) et (2) membre à membre et extrayons la racine, il viendra

OPXOR = a'.

Remarque* Le lieu du point P est une lemniscatë dont Féquation polaire est

Féquation polaire deTbyperbole est

^ ces 2 a donc, etc.

Proposïtioh III. Si d'un point de la directrice d'une ellipse on tire deux tangentes à la courbe et quon les prolonge au delà du point de contact jusquà leur ren~ contre ax^ec la circonférence principale, la droite qui joindra les deux points de rencontre sera un diamètre parallèle à la corde des contacts.

Lemme, Les projections du sommet d*un triangle sur les bissectrices correspondant aux deux autres sommets sont situées sur une droite qui passe par les railieux des deux côtés se coupant au sommet considéré.

Cela posé, joignons sur la figure TT',TF, TF, PR, FH'

La droite TT' passe par le foyer F, puisque le point P esi

sur la directrice ; donc on a les égalités d'angles De même

RTF' = PTF = HTR.

F'rR' = H'f^R'.

Donc les droites TR, TR' sont les bissectrices des angles

HTF, H'f'P. Mais FR est perpendiculaire sur TR, FR'sur TR', puisque TRctT'R' sont des tangentes à Tellipse et que les points R et R' appartiennent à la circonférence principale. Donc, d'après le lemme, la droite RR' passe parles milieux de TF'et de T'F', ce qui montre d'abord qu'elle est parallèle à IT, et en outre elle passera par le milieu O de FF', c'est-à-dire qu'elle est un diamètre. (c. Q. F. n.)

On déduit de là les deux corollaires suivants :

Corollaire L Si des extrémités d'un diamètre mobile de la circonférence principale on mène d^un même côté de ce diamètre des tangentes à Tellipse, le point de con« coursde ces tangentes décrit la directrice correspondant au foyer relatif au côté considéré.

Corollaire IL Quand Tun des sommets d'un parallé* logramme circonscrit à une ellipse est assujetti à se mou-

(a3d) voir sur Vnhe des deux directrices, le sommet opposé décrit Tautre directrice, et les deux autres sommets décrivent la circouférence principale.

(TOlrp. H);

Pae m. Ed. GRESSIER,

Élè?« au collège Stanislas (claaae da M. Frin).

L'énoncé de cette question est incorrect. Il faut remplacer

^ = ung^i?-^*î^ par ^ = iang^^<»»^ et

* = cotii?^^s^ par ô=:cotitf-«»^ (*).

r^ous allons le prouver

Pour qu^une équation transcendante

ait deux racines égales, il faut qu'elle ait une racine commune avec

Prenons la dérivée de l'équation proposée.

d'où

ax^ — ax -H a =r O.

(*) Nous avons copié les Cotnff tes rendus du 9 janvier j86o, p. if i-ju.

( >3» ) Cette équation a pour racines

■ et ■

ou, puisque a =±: siu^,

cot- et laog-*

n faut donc que l'une de ces quantités mise à la place de X dans les équations

X€ ^\ '/ =COti

cotie««^

en vérifie au moins une.

Posons

aloj

j; , = col - î a?a =: tang - \ •2 a

irs

I 2cos>p I acos^

Il faut donc que l'une des relations suivantes se vérifie :

(t) x,c""^\ ^"''i/ =tangi<?-«^»^

(2) x.c"^\ '"■'^/=:coti!e«^^

(3). x,«~»V'~^) = langi:e-«~^

r,c =»\ * '«/srcotï*

(4) •^.«r ^^ '•/=cotï««0''^:

or ces

relations

se réduisent à

tangï,