MN = OM
c'est-à-dire le demi-diamètre parallèle à la tangente. On
trouve aisément que OM' a pour expression
ab
en cherchant l'intersection de la droite j^= — \ , x
avec l'ellipse.
La multiplication de OM' par v = — donne
la constante ah.
Solution de la question 518 (*).
Soient X eif les coordonnées des points N et N', et
où K' est la quantité constante.
Fie, 2.
Il est évident sur la ligure que
.r=x'±MNcosNMP,
r=/±MNsin]VMP,
x' ely' sont les coordonnées de M,
Eu remplaçant MN par sa valeur, et cos NMP, sinNMP
(*) Cette question a été aussi résolue par M. L. blanché-Arnaalti élève du lycée Louis-1e*Grand.
par leurs valeurs -- — el : -^t on ob-
tient
(.) . = x'±— = ^,— , doù -' = ^;g^,.
(,) ^=y±î^' = (i:±^', d'où y=,-^.
Substituant a/, y dans
or'» y»
on a
L'équation (3) représente deux ellipses confoeales, comme il est facile de s'en assurer eu formant les difTércnces des carrés des deux axes.
Solution de la question 519.
Soient (a/,y), [t'^^T'J) ^^ux points correspondants, (jCTuyi) les coordonnées du milieu M. On a
(.) ...= — i=(?jiiiîv:,
Pour avoir le lieu des points M, je remplace xfciy par leurs valeurs tirées deTéquation (i) et (a) dans
( =«39 ) J'obtiens
équation d'une ellipse.
La droite
est normale à cette ellipse. En efTet, si on remplace jcf et y par leurs valeurs, on a
2 6ji __ (b' >- ^) (g -H a') y, / 2flx, \
En tenant compte de la relation a} — b*:=ia!^ — &'" qui exprime que les ellipses données sont homofocales, on a
^ — (t + by x,"^"^ b-hb' {b-^yy '
ou enfin
m (a-4-gTjr. ^V.
</» étant égal k (a -h af^ — (h -h b)\
Cette équation (4) est précisément celle de ]a normale à Fellipse (3) au point (x,, jj), comme il est facile de s'en assurer en la formant directement.
Solttiion de la question 520.
Correction, ms^ doit être pris égal au demi-diamëtrc parallèle i la tangente et non à la normale. Il faut démontrer l'égalité
(i) PS,XQS.-PS,XQS,.
On a
( Mo )
PS, = (/îîS,— Pot), QS,= (»iS,-|-Q/ii), PS, = {mS,-hPm), QS, = (Qw -- iwS,).
Fie. 3.
En remplaçant dans rëgalîté (i), on obtient
(mSt — P w) (/wS, H- Q w) = {/wS, -h P/w) (Q/n — m S,),
ou bien
(2) otS,= P/iî.Q//j.
Or
«mQ. -— tw'n — îi
de même
^fllj'l-HA*^'
En substituant, on voit que IVgaliié (2) est vërifiëe.
Les lieux de Si et Sj sont deux cercles concentriques à Tellipse décrits avec les rayons (a ±6). On peut le démontrer directement ou considérer la question comme un cas particulier de la question 518.
{ Ml )
Dans Téquaiiou
îl suffit de faire
et on obtient
Remarque, La question n'est qu'un corollaire du problème de la détermination des axes d'une ellipse, connaissant deux diamètres conjugues et leur angle.
On sait, en effet, que les axes OA et OB sont les bissectrices de SiOSi et SjOR, angles intérieur et extérieur du triangle S^OSi. Donc les quatre points Q, Si,P, Si, divisent barmoniquement le côté QS] .
On sait aussi queOSi est égal à(a-hb) et OS» à (a — A). Donc les points Si et S| sont sur les cercles décrits du centre avec (a-f-i) ou (a — b) pour rayon.
Note. Ces questions ont été résolues pour lellipsoïde, par M. Jules Faure, élève de l'institution Mayer.
Ellipsoïde.
1^. Le segment intercepté sur une normale quelconque à un ellipsoïde par deux des plans principaux étant multiplié par la distance pdu centre au plan tangent adjacent à la normale, donne un produit constant.
Soit l'ellipsoïde rapporté à ses axes, en un pointa:, j^, le plan tangent a pour équation
^X yY zZ
Ann. de nalhém., t. XtX. (Juillet 1860.) 16
( a4a ) Au même point, les équations de la normale sont :
au point où la normale perce le plan zoy pour
au point où elle perce ZoX pour
La distance de ces deux points est
la distance de Torigine au plan tangent,
Le produit de ces distances :=a* — b*. De même, si Ton avait pris le segment de la normale compris entre zox et xoy^ le produit aurait été
Enfin , si Ton avait considéré le segment compris entre xoy et yoz^ ce produit aurait été
a»— cK 0?, Pour l'ellipsoïde, si Ton prolonge une normale quel-
( a43 ) conque à un ellipsoïde dont les axes sont aa, 2&, ac, jusqu'à un eHipsoïde de révolution de mêmes plans principaux, dont les axes sont, par exemple, a (a + &) pour
les deux axes situés dans xoy, a ( c H j pour celui qui
est dirigé suivant oz, le produit du segment de la normale compris entre les deux ellipsoïdes par la perpendiculaire p abaissée du centre sur le plan tangent adjacent à la normale est constant.
En suivant la même marche que pour l'ellipse, on arrive à une équation en h
qui est vérifiée pour h = a&, h étant le produit cherché. Dans le cas où l'ellipsoïde proposé serait de révolution, par exemple pour a = <?, le second ellipsoïde deviendrait une sphère de rayon a-hb.
Même résultat en prenant a — J, c pour axes^
3°. Si l'on porte sur une normale quelconque à un ellipsoïde, de part et d'autre de son origine, deux longueurs MNi, MN, telles, que le produit de MNi ou de MNt par ^ soit constant, les lieux des points Ni, N^ sont deux ellipsoïdes confocaux de même centre que l'ellipsoïde donné.
En suivant la même marche que pour l'ellipse, on trouve pour équations de ces deux lieux
On voit d'ailleurs que pour k = ab, on trouve les deux
( a44 ) ellipsoïdes de révolution indiqués plus haut, qui devien« nent des sphères si c = a ou &•
4^. Ellipse. Soient P, Q, les intersections respectives d^une normale par les axes a, & ; si à partir de Torigine M de la normale on porte des longueurs égales entre elles MSi , MSf , telles que MSi soit égale au demi-diamètre parallèle à la tangente adjacente à cette normale, les quatre points Si , P, St , Q, sont placés harmoniquement; les lieux de Si , Sa sont deux cercles concentriques à Tellipse, de rayons a-hb.
La tangente i un point x^y de Fellipse
a pour coefficient angulaire p 9 le diamètre parallèle
est *
les coordonnées X, Y de son intersection avec l'ellipse vérifient aussi
Des équations (i), (a), on tire ^ /i b^x^\
de même
et
Tel est le carré de la longueur du demi-diamètre. Les coordonnées des points S|, Ss, satisferont Téquation de la normale
On aura en outre^ puisque MSi=:MSi= le demi -diamètre
De ces équations on déduit
d'où
de même
pourP
pourQ
par conséquent
(a46) et
de même
Les deux points S| , S| , divisent la ligne P, Q dans le
même rapport, par conséquent Si , P, S| , Q sont places
harmoniquement^ car en admettant un sens positif et un
sens négatif sur la normale, comme P| est entre P et Q,
Si P sera de sens contraire des autres longueurs. On aura
donc
S,Q'S,Q~ '• S| est entre P et Q, car
Or, la longueur du segment de normale interceplé par le
cercle de rayon ado b est aussi ± ai i/ — 4- t;» donc les
lieux de S^, S|, sont ces deux circonférences. Pour l'ellipsoïde^ on prend MSi égal à un den^^amètre, quatrième proportionnelle de |ia; et par exemple a, i, et au lieu du
cercle, l'ellipsoïde de révolution a + i a été - — : — •
M. Saphore, élève du lycée de Douai, a résolu de même ces diverses questions.
QUESTIONS
528. Le nombre figuré par 1 1 ai ne peut être un carré parfait dans aucun système de numération.
(RoucHÉ, professeur.)
529. Deux cubes étant premiers entre eux et se terminant (à droite) par les trois mêmes derniers chiffres significatifs, démontrer que les deux racines cubiques ont aussi les trois derniers chiffres communs dans un système
quelconque de numération.
(Roi3CHé, professeur.)
sinP
5Sq = **"«'' d'où
Ung — ^ tang —^ = lang (f — 45).
531. Soît A l'aire d'un polygone régulier circonscrit à un cercle, A' l'aire du polygone semblable inscrit,
l'aire du cercle est comprise entre A et A — ^(A — A').
(HuTGHBNS.)
532. Soit  Taire d*an polygone régulier de a/i c6tës inscrit dans un cercle. A' l'aire d'un polygone régulier inscrit d*un nombre n de côtés, l'aire du cercle est comprise entre A et  -W|r (A — A').
(HuTGBElîS.)
533. Soient deux cercles égaux dans le même plan; P un point variable duquel on mène des tangentes aux cercles et dont le produit est constant. Le lieu de ce point est la podaire du centre d'une ellipse.
534. Soient j^*" = F (x) Téquation d'une courbe algébrique;^— yi = F'(j:i) (x — Xi) Téquation d'une tangente au point Xi jTt] X, Y un point quelconque de cette
Y" tangente. > est un maximum ou un minimum lorsque
Y =ji, X = X,. (Duhamel.)
SDR LES FORMULES D'INTERPOLATION BE LAfiRANfiE ET DE NEWTON (*);
Par m. Abbl TRANSON.
1 . Il faut, de la formule de Lagrange, déduire celle de Newton, lorsque les nombres Xo, Xi, . . . , x^, forment une progression arithmétique.
Cette déduction consistera à faire voir que si, dans la formule de Lagrange, on remplace Ui, iii,. . ., ii^, par leurs valeurs en fonction de i/o et de ses différences^ le
(*) Voir t. XVI, p. a37, 398; t. XVIII, p. 26 à 193.
(^49) coefficient d^une différence d'ordre quelconque sera, pour la circonstance indiquée, le même que dans la formule de Newton. Le calcul s'appliquera d'ailleurs au cas où Tindîce de la différence dont on étudie le coefficient est nul, c'est-à-dire qu'elle s'appliquera au coefficient de w© ] car I/o est représenté par Ao r/o-
2. Pour abréger l'écriture, je représenterai un produit de facteurs qui croissent en progression arithmétique et qui sont en nombre /i, tel que le produit a (a + A) . . , [a -+- (/î — i) A] par le symbole usité a"^^; et le produit de n facteurs décroissants, tel que a (a — h), . .[a — [n — i)/*] par«"'~*. Et k ce sujet je rappellerai qu'on a la formule suivante
Priant le lecteur d'observer que les facteurs qui commencent par a dans chaque terme sont croissants au lieu que ceux dont le premier est b sont décroissants,
3. Je vais calculer le coefficient de A^i/o, et je remarque premièrement que par la substitution des valeurs de i/i, ii|. . . !/„ en fonction de u^y Ai/,,,. . ., A^Wo, la difTérence Ap i/o ne s'introduira que par la valeur de i/^et par celles de //p+i, . . . , jusqu'à i/,„.
C'est pourquoi, avant de faire cette substitution, je vais transformer les coefficients fractionnaires de la formule de Lagrange^ mais seulement à partir du terme qui contient Up.
4. Tous les coefficients, à partir de celui de //p, ont en facteur commun au numérateur le produit
(*1 {^—^9) {^ — ^1) .. . (.r — ;rp,).
( 25o ) Ensuite le numérateur de l'un de ces coefficients, de celui par exemple qui multiplie u^+r) se complète par cet autre produit
(x — JTp) ... (« — )i:^H-»i-i)(*— "ay+«+i)--- (* — *•)•
Ce nouveau produit contient m — p facteurs; je le décompose en deux autres : Tun formé de n facteurs décroissants, savoir :
(X — JP^) ... (X — Xp+«-,),
et Fautre de m — n-^p croissants, savoir :
(x — x«) {x — ^K^i) ... (or — X^KH.+t)-
Donc je puis dire^ en employant les symboles convenus, que le coefficient de ii,^^ a pour numérateur le produit ci-dessus (a) multiplié par l'expression suivante :
5. G)nsIdérons maintenant le dénominateur de u^^ , c'est-à-dire le produit
D'après la relation qui est entre les jc^, a:i,. . . , ar«, tous ces binômes en nombre m contiennent le facteur A; déplus les m — p — n derniers, c'est-à-dire les binômes à partir de Xp^ — Xp^.ft^ij sont négatifs. Ce produit reçoit donc la forme suivante :
Mais pour mettre en évidence ce qui est commtin à tous ces dénominateurs, j'écris laméme expression comme
( »5i ) il suit :
(— i)»(/ii — /> — /i-f i) ... {m—p)
6. Finalement le coefEcient de itp^ se compose : x^ d*un facteur commun à tous les coefficients à partir de i/p, etque voici :
^P^ Hi)-/'.>i-.(i.2.../.)[i.2...(m-/.)]
et 3® du facteur suivant qui lui est propre
7. Donc la formule de Lagrange reçoit des relations prescrites une première transformation telle que V ensemble des termes à partir de celui qui contient Uj, jusqu'au dernier, se trouve égal au facteur ci-dessus (P) multiplié par la suite des termes que voici :
(/'-Hi)/'-t-2 ^ "
8. Et maintenant il est manifeste que pour avoir le terme en A^u, il faudra multiplier le même facteur (/3) par la suite précédente dans laquelle on aura rem-
( aSa ) placé
Up par A^ a„
Up^t par î^ àpihy
«^H-ï par A^"»*
Mais alors cette suite devient égale au produit de A^'u, pai'
c'est-à-dire par
expression égale à
{—iy^P,h'"-P(m—p)(m—p—i). . .2.1.
Si on la combine avec le facleur (/3),on reconnaîtra que le coeflicient de A^ u^ dans la formule de Lagrange tran6>formée est égal à i
(x — x,)(x— j?| — /<) ... [x — X, — (p — i)h] (i .ti,3,,.p)àP
ce qui est précisément son coefficient dans la formule de Newton.
