LIEU DES POLES DES CORDES

fii dans les coirbes di second degré joigient les pieds des loraales à ces coirbes leiées d'oi point de la déreloppée. — Théorèies;

Par m. DESBOVES.

Ellipse. Rappelons d'abord les formules de la page 5f

a, b, c ont leur signification ordinaire dans les coniques à centre, a et |3 sont les coordonnées du pôle d^une corde quelconque de Fellipse, et x ety celles du point d'intersection des normales menées par les extrémités de la corde. On aura immédiatement l'équation du lieu demandé, en remplaçant, dans Téquation de la développée de l'ellipse

xetj par les valeurs que donnent les formules (i). On obtient ainsi pour équation du lieu

(2) [aa (A*- ?«)]• -h[bp (a» - «»)]' = (a' p^ -h b'a^)\

En chassant les radicaux on trouverait une équation du 18' degré, cW-à-dire que le degré atteint le maximum fixé par le théorème U (p. 4S).

Mais cette équation peut se décomposer en facteurs.

C*) y ojresU note ptLQeidS.

( >54) En effet, posant

a = apco$u, p = ^psioo», et faisant disparaître les radicaux, on obtient

5t7p*sin'«cos'û> (p' — I — p*sin'«co5'«)* = (p' — 1 — p*sîn'«cos'«H-4p'sin'wcos'«)%

et si Ton pose

p*sin'«cos' w = «, p* — I = z, il vient

Le lieu cherché se compose donc des trois courbes

Qll

z = o, a=ri, «=-2 — :

si Ton remet pour z et u leurs valeurs en p, sina> et cosoi), puis pour ces dernières quantités leurs valeurs en a et j3, on obtient pour équations en coordonnées rectangulaires

En laissant de côté la solution qui donne la courbe ellemême, on voit que le lieu se compose de deux courbes distinctes (4) et (5), faciles à construire (^).

{*) La construction de la courbe (5) se ramène facilement à celle do la courbe dont Téquatlon polaire est

n reste à expliquer pourquoi on trouve deux courbes. Pour cela nous allons déterminer successivement les lieux des cordes qui joignent, les premières, les pieds d'une normale double et d'une normale simple, et, les secondes, les pieds des deux normales simples, et on verra que les deux lieux ont précisément pour équation les équations (5) et (4)« (J^appelle normale double celle des trois normales qui est tangente à la développée au point de départ, et normales simples les deux autres.)

Déteiminons un point X, Y de Tellipse par des équations de la forme X = acosf , Y = i'sinf . L'angle d'anomalie 9 caractérisera alors un point de Fellipse que nous appellerons, pour abréger, le point 9.

Soient a/ ^ y les coordonnées du point de la développée d'où Ton mène les trois normales, (f' le pied de la normale double et (f^\ ^jj" les pieds des deux normales simples. Soient aussi al^ /3' les coordonnées du pôle d'une corde de l'ellipse qui passe par deux points y et 9", et x et y les coordonnées du point d'intersection des normales menées par les extrémités de la même corde.

L'équation de la corde (f*^ (f) sera

^ COS9' — ces ç" y sîn «p' — sin <p" x

^^ sin(^'^-f) ï" sînltp"— /) «■"''

et on aura les coordonnées du pôle de la corde par les équations

(a' sin 9" — sin y' 7"~ sin(f — (p')'

( h "" sin^y"— «p') *

Si d'un autre côté on cherche les coordonnées du point or, /, point d'intersection des normales menées *par les

( a56 ) points ^,9", il vient

I___ c^sin f ' sin ç" (cos 9" — cos y' ) c^ cos ç' cos q>" (sin 9'' — sin »' ) asin(y" — ^')«

En faisant dans les équations précédentes q/ =^ (]/^ on trouve pour les coordonnées a/, y* du point de la développée correspondant au point (f'

(9) a:'= - cosV, r'=—J «"*?'»

mais les points x,y étant sur la développée, on a

x^zrzx, r' = r> et par suite il vient . . sin y" — sin / cos* f ' cos ff" — cos ^' si n' y'

(i i) sin y" cos* / -H sin* f' cos «p" — coSf"sin^''= o.

Remplaçant maintenantdans cette dernière équation sinf^' par sa valeur ^i — cos'^', faisant disparaître le radical et divisant les deux membres de Téquation résultante par le facteur double (cosç" — cosy')', il viendra

(12) cos' ff" H- 2 cos y' sin* y' cos (j»" — cos* <p' = o,

et une équation semblable en cbangeant ff" en (j/".

D'ailleurs, en vertu des équations (10), les équations (7) deviennent

g^ cos'y^ P^sinV ^ ^ /i""cos<' b ""sinf'"

Nous pouvons maintenant obtenir séparément les deux lieux, ^t d'abord le premier.

( a5î7 ) Pour cela, remplaçons dans les équations (ii) et (m) cos^ et sin (f'^ par leurs valeurs tirées des équations (i3)^ il viendra

(i4) — cos(p'-hV-sin(p' = r, ~ ces ç' -h rj *in <p' = — i , a 9 a p

et éliminant cos^ et sin^' entre ces équations et Téqua*

tion

sin* «p' -H cos' <p' = I , on aura

et il est facile de voir que cette équation peut se ramener à la forme

SOUS laquelle nous l'avons d^ abord trouvée.

Cherchons maintenant le second lieu. Soient a",/i" les coordonnées du pôle des cordes (9" <}/")• Si dans les équations (7) et (8) on remplace «',13', y' par a", (3", y" et qu(; a: et^ représentent maintenant les coordonnées du point d'intersection des normales menées par les points f'^, (f*^ on déduira de ces équations

y =— ^ p'^sinç^sinf'', ^ = — a"coS(p"cos^"'.

En égalant les valeurs précédentes dey et a: respectivement à — î sin'9' et - cos*<j/, il vient

{i5) ^,sin*(p' = sinf sinf", — cos*f = ces f' ces ç"';

mais Téquation (12) étant une équation du second degré en cosç" qui admet à la fois pour racines cosç" et cosç''*',

Ann. de MathémaL, t. XIX. (Juillet 1860.) I ^

( ^5») on a

( i6) cosf " cosç** = — cos< /,

et par un calcul semblable on a de même

(17) sin7"siny*'= — sin*^';

remplaçant maintenant dansles équations (i 5) cos^^cos^^, siny" sinç"' par les valeurs que donnent les équations précédentes, il vient

(i8) = — cosf', |r7, = — sin/,

et par suite

C'est ce qu'il fallait trouver.

Nous allons donner maintenant deux équations trèssimples qui lient entre eux, la première , les angles (f' et 9", et la seconde, les angles y' et (ff''.

En complétant deux carrés dans le premier membre de Téquation (ia), on a

' ( cas f ' -h cos f " } * sin* ç' = cos* y' sin* «p*';

mais si on était parti de Téquation en sin^', analogue à réquation (la), on aurait eu de* même

( sinf'-h sinf'')^ cos*^' = sin'/cos*^'',

en extrayant les racines, on a donc

— siDf'coso' = sin (ç'dif"), — siny'co8^' = gin(f"± y')-

Pour que les résultats donnés par ces dernières équations soient d'accord, t>n doit avoir

(19) — sinf ' cos / = sin (y' H- f " ) :

c'est la première équation que nous voulions obtenir.

( ^59 ) On aurait évidemment de même

-^ sÎD <p' cos «p' = sin (f ' -h ç*), et par suite

sin((p' + f')= sin (y' -^ (p"')-

Mais pour que deux arcs aient le même sinus, il faut que leur différence soit un nombre pair ou que leur somme soit un nombre impair de demi-circonférences. Or la première hypothèse doit être rejetée, puisque les detix arcs t^' et ff"' étant tous deux plus petits que acr ou au plus égaux à 217 (ce qu'on peut toujours supposer en géométrie), leur différence est toujours inférieure k ^xs. Cela a lieu aussi d*ailleurs dans le cas où Tun des angles est nul, parce qu'alors l'autre est nécessairement égal à C7. La seule hypothèse possible est donc, en représentant par ik-^-i un nombre impair quelconque,

2«p' H- 9" -^ f" = (2X -h l) cr.

De l'équation précédente on tire

[(i + cos(«p" -h OP = 4sîn*?' = — 4sin/sin ij»'",

9" -4- 9"* (20) COS* ' î- -H sin ff" sin y ^ =: o;

l'équation (20) est la seconde équation demandée.

Les équations (19) et (20) peuvent être utiles dans la i*ésolution de plusieurs problèmes.

Hyperbole, Les deux méthodes sont applicables; seulement, dans la seconde, on détermine un point X, Y de l'hyperbole par des équations

X = û sécç, Y = ô tangf •

Parabole. On trouve l'équation du lieu par la première méthode, c'est-a-dire en substituant dans l'équa-

tîon de la développée

les valeurs de y et de

X données par les formules

(page5i)}

on a ainsi l'équation

le lieu est donc la parabole

On peut aussi résoudre la question en supposant un point de la parabole déterminé par des équations

X = 2/? taog'fy Y = a/> tang^.

En désignant par f ' et (^' les angles qui déterminent les pieds de la normale double et de la normale simple, on voit immédiatement qu'on est ramené à éliminer tangf' et tangf^' entre les trois équations

( a=2/?tongf lang^", p=/?(teng(p'4-tong/0» \ 2 rang ^' -f- tang <p" = o .