I. X', Y' étant les coordonnées du pied de la normale

double dans Tellipse, si on remplace dans les équa-

X' T' lions (i4) cosç' et sinç' par — , -t-> il vient

d'où résulte re théorème :

Si on projette un point de la courbe (S) sur les deux axes de F ellipse, la ligne droite qui joint les deux projections passe toujours par le point dfi V ellipse diamétralement opposé au pied de la normale double correspondante.

IL Si on remplace dans les écpiations (18) cos^ et

X' Y' sînç^ par leurs valeurs — » -r» il vient

et on a le théorème suivant :

Si on projette un point de la courbe (4) sur les deux axes de P ellipse, la ligne qui joint les projections touche Fellipse donnée en un point diamétralement opposé au pied de la normale double correspondant au point de la courbe (4).

Les mêmes théorèmes ont lieu pour l'hyperbole.

m. Les équations (21), dans lesquelles on remplace

lang^ par — ? tang*^' par — 9 donnent évidemment

B^ , ût = — 2X'.

De là on déduit facilement ce théorème :

Si on mène une tangente quelconque à la parabole et qu^on la prolonge , à partir de sa rencontre av^ec taxe, (lune longueur égale à sa moitié^ F extrémité de cette longueur engendrera une courbe identique au lieu des pôles des cordes qui joignent les pieds des normales menées dun point de la développée.

IV. Il a été démontré que les angles d'anomalie correspondant aux pieds des trois normales menées d'un point

de la développée de Tellipse sont liés entre eux par Té-

quation

2<p' + tp"-4-^>*=(aA4-i)Br.

On peut prouver de plus que le nombre 2/r -h i est 5 ou 3 suivant que le point de la développée est au-dessus ou audessous du grand axe de Tellipsc. Mais ce théorème est un corollaire évident d^un théorème plus général qu'on peut énoncer ainsi :

Si d'un point intérieur à la développée de Fellipse on mène les quatre normales à cette courbe, la somme des quatre angles d^ anomalie correspondant aux pieds des normales (chacun d^eux variant entre o et %xs) est égale à Szj ou Zxs suivant que le point est situé au-dessus ou au-dessous du grand axe.

En effet, si d'un point a:, y du plan de l'ellipse on mène les normales à cette courbe, et qu'on désigne par X, Y les coordonnées d'un des pieds des normales, on sait que les pieds se trouveront sur une hyperbole équilatère (22) c> X Y H- b^jr X — û'xY = o.

En remplaçant dans cette équation X et Y par a cosf et ftsinf, puis cosf et sinf par leurs valeurs en tangf, il vient

— 2£/6xjr rang7+ b^y^ = o.

Les coefficients de tang'f et tangf étant égaux dans l'équation précédente, on en conclut, en désignant par (f\ (f'\ (f"\ <f^^ les quatre valeurs de y correspondant aux pieds des quatre normales, et représentant par k un nombre entier quelconque,

(nais si l'on se rappelle que par hypothèse les angles

(a63) d'anomalie sont compris entre o et acr, et que le centre de courbure d'un point de l'ellipse a toujours une ordon* née de signe cou traire à rordonnée du point lui-même, on Toit sans difficulté que, suivant que le point de départ des quatre normales est au-dessus ou au«-dessous du grand axe de l'ellipse^ la somme f^+ ç''-h 9'"+ 9"" est toujours comprise entre 4ty ei 6ts on entre acr et 4^9 ^^I^ e^t donc 5 17 dans le premier cas et 3 cj dans le second.

V. Si Ton suppose qu'un point de l'hyperbole est déterminé par des équations de la forme

X = â $écf, Y = b tangf ,

r angle 9 étant toujours un angle compris entre o et 20, et tellement choisi, que a séc^ et b langqp donnent X et Y à la fois en grandeur et en signe, on prouve par une démonstration toiite semblable à la précédente que la somme 9'+9"-|-9'''4-(]>*^, correspondant aux pieds des quatre normales menées d'un point du plan de l'hyperbole à celte courbe, est égale à 5cr ou 3i7, suivant que le point de départ des quatre normales est situé dans le premier et le troisième angle des coordonnées, ou dans le second et le quatrième.

VI. Quant à la parabole, si l'on suppose, comme précédemment, un de ses points X,Y déterminé par des

équations

X = V tang'ç, Y = 7p tangf ,

on trouve, pour déterminer les valeurs de tangf correspondant aux pieds des normales menées d'un point j:,j^ du plan, l'équation

4/? tang»«p -f- 2 (^ — ar) teng^ —7 = o ; on a donc

Ung/-h tangy"H- tangf"=: o,

( 264) et si l'on suppose 1c point de départ des normales sur la développée 9 on retrouve l'équation précédemment citée

2 tangy' -h tang ^" = o .

VII. On a trouvé que la somme des angles d'anomalie était égale k kzs pour les points d'intersection de l'ellipse et de l'hyperbole équilatère (22) 5 on est conduit alors à se demander, en général , par quelles courbes du second degré on doit. couper l'ellipse pour que la même relation subsiste. Cette question, avec plusieurs autres du même genre énoncées par M. Joachimstal , a été résolue par M. Terquem (^4 anales, t. IX, p. 170). Les démonstrations sont semblables à celle que nous avons donnée tout à l'heure. On voit, en particulier, que la somme des quatre angles d'anomalie est toujours égale à kxs quand la seconde courbe est un cercle.

J'ajouterai ici que lorsque les quatre points d'intersection sont d'un même côté du grand axe, la somme des angles d'anomalie (supposés toujours compris entre o et 2(7) est égale à 2CF ou 617, suivant que les quatre points sont au-dessus ou au-dessous du grand axe, et que la somme est égale k 4^^ lorsque deux points sont audessus et les deux autres au-dessous du grand axe.

Le théorème est évident lorsque les quatre points sont symétriques deux à deux par rapport à l'un des axes; et lorsque la symétrie n'existe pas, on remarque qu'en remplaçant deux des points par les symétriques des deux autres, on ne pourrait qu'augmenter ou diminuer la somme des angles d'anomalie d'une quantité plus petite que cr, et que par conséquent la somme qui est un multiple de CT doit rester la même. Les réciproques sont évidentes.

En rapprochant le théorème actuel de celui que nous {lyons démontré sur les pieds des normales à l'ellipse, on

( 265 ) arrive a une démonstration très-simple d^un autre théorème dû à M. Joachimstal, et dont voici Ténoncé :

Dans V ellipse, trois des pieds dès normales à cette courbe menées d'un point de son plan, et le point diamétralement opposé au pied de la quatrième normale, sont sur une même circonférence.

En effet, supposons, pour fixer les idées « qu^on ait mené les quatre normales d'un point situé au-dessous du grand axe. Trois des pieds des normales sont au-dessus de Taxe et le quatrième au-dessous. Alors, suivant qu'on remplacera l'un des trois premiers pieds ou le quatrième par le point diamétralement opposé, on augmentera ou on diminuera de cr la somme des angles d'anomalie. Dans le premier cas on aura deux points au-dessus de Taxe et deux au-dessous, et la somme des angles d'anomalie sera égale à 4cT. Dans le second cas les quatre points seront au-dessus de l'axe, et la somme sera égale à 2(7. Les quatre points sont donc, dans les deux cas, sur une même circonférence. Le cas où le point de départ des normales est au-dessous de l'axe conduit à la même conclusion.

Pour rhyperbole, les mêmes théorèmes ont lieu encore, et se démontrent d'une manière analogue.

Détermination du lieu par la géométrie.

Théokeme L Si deux points pris dans le plan d'une co^ nique à centre sont tels^ que les rapports de leurs coordonnées aux demi-axes sur la direction desquels on les compte sont inverses et de signe contraire, les deux polaires correspondantes coupent la courbe en quatre points, dont les normales vont concourir en un même point du plan.

Le théorème est une conséquence évidente des formules (i). En effet les valeurs àe x ei y données par ces

{ ^66) formules ne changent pas, quand^on y i^mplace a et |3 par

Théorème II. Deux points étant donnés sur une conique à centre, si l'on trace la corde qui joint les deux points diamétralement opposés aux premiers y que par les points oh cette corde rencontre les axes on mène des parallèles à ces lignes^ et y par le point d'intersection des deux parallèles, des tangentes à la conique, les deux points de contact et les deux points donnés seront tels^ que les normales des quatre points se couperont en un même point du plan.

En effet, les cordes qui joignent respectivement les deux premiers et les deux derniers points ont pour pôles deux points dont les coordonnées satisfont à la condition indiquée par le premier théorème.

Théorème III. Etant donné un quadrilatère circonscrit à une conique à centre dont les points de contact a^ec la courbe sont les pieds de normales menées d*un même point du plan , si on projette les quatre sommets sur les axes et qu^on mène les droites qui joignent les projections d^un même sommet, les quatre droites ainsi obtenues formeront un quadrilatère inscrit dans la conique et dont les sommets seront diamétralement opposés aux points de contact du premier quadrilatère.

Soient A , B, C , D les quatre points de contact; A', B', Ct\ D' les points diamétralement opposés ; (A, B), (B, C), (C, D), (D, A) les quatre sommets; (A, B) désignant le sommet situé entre A et B; (B, C) le sommet entre B et C , etc. Les deux droites qui réunissent les projections sur les axes des points ( A , B) et (A, D) viendront toutes deux passer parle point C ( théorème II ). Pour les autt^es,

( »67 ) la démonstration est évidemmeiit la même. On a donc an quadrilatère inscrit A^ B\ C, D^

TfléoRÈHE rV. «Si ron projette sur les axes le point d'intersection d*une normale simple et d'une normale double, et celui de deux normales simples, et çu^on joigne les projections de chaque point par une droite, les deux droites passeront par le point diamétralement opposé au pied do la normale double, et de plus la deuxième sera tangente à V ellipse.

En effet, si Tun des points de contact, D par exemple, se confond avec le sommet voisin A, D' se confond avec A', et le quadrilatère A'B'C'D' est remplacé par la figure formée du triangle A'B'C et d'une tangente en A'; mais alors le point de départ des quatre normales est sur la développée, et la normale partant de A est la normale double. Le théorème est donc démontré.

Le théorème IV comprend les deux théorèmes démontres par le calcul p. 261 , § I et § II.

U est facile maintenant d'obtenir les équations des deux courbes. En effet, si Ton désigne par X et Y les coordonnées du point A, par a', P' celles du point (A,B), par a'jjS'' celles du point (B, C), on a évidemment, d'après le théorème IV, les équations suivantes :

En substituant dans l'équation de la conique les valeurs de X et de Y déduites des deux premières, et aussi celles qui sont déduites des deux dernières^ on aura immédiatement les équations du double lieu.

Remarque, On peut aussi déduire du théorème I une démonstration très -simple du théorème de M. Joachim^

sial(§VII, p. 265).

{ .68 ) En efFet, conservant les mêmes notations que précédemment, nous voyons, d'après le théorème I^ que si

le coefficient de AD est m, celui de BC est -— — > et par

suite celui de BC, corde supplémentaire de BC , est — m. Les droites AD et 6C^ sont donc également inclinées sur les axes, et par conséquent , d'après un théorème connu , le quadrilatère ADBC est inscriptible dans une circonférence.