Soit
un point de la surface sphérique. La géodésique polaire relative au cercle imaginaire (3) pris comme courbe directrice est
(5) 'V.x-hXoX + «o« = o,
( »7> ) et la géodésique polaire du même point, par rapport k la conique (i), est
Si les deux lignes gëodésiques (5) et (6) doivent coïncider, c^est-à-dire si le point (4) a la même polaire par rapport k la conique (i) et au cercle imaginaire, (3) on aura
L'élimination de Xoly^lz^ de ces équations donne une équation cubique en 6 ^ on sait que cette équation résultante a ses racines réelles, et que si Ton désigne par
(7) (^r-Xii^Of (xiijTiizj), (x,:x»:zy)
les systèmes de valeurs de (arotj^ol ^o) qui correspondent aux trois valeurs^de l'indéterminée 6, on a
a:,X3 -f- x^ji -f- za Z3 = o ,
*» ^1 -H ^3 r i -^ ^a «1 = O > *i Jtt-hXtXi -f- «I «, = o.
Donc les trois points (7) sont les sonunets d'un triangle trirectangle, et par conséquent la géodésique polaire de chacun d'eux par rapport à la conique (1) et au cercle (3) (ou absolue) passé par les autres deux* En prenant ce triangle pour triangle des coordonnées, c'est-à-dire en posant
(7)' J^i = 2i=0, «, = ar, = 0, X8:j3 = 0,
Téquation (1) deviendra
( ^7^ ) La forme de cette équation enseigne que si par Ton quelconque des points (7)' on mène arbitrairement une corde (géodésique) de la conique (8), elle y est partagée en parties égales.
Donc les points (7)' sont des centres de la conique sphérique. En supposant aX3>o et 7<^o, le point a:=j^ = o est le centre intérieur; les autres sont au dehors de la courbe.
Ainsi :
Les centres d^une conique sphérique sont des points dont chacun a la même géodésique polaire par rapport à la conique et au cercle imaginaire situé à l'infini.
3. Le tétragone (*) complet (imaginaire) inscrit à laconique (8) et au cercle imaginaire (3) a deux côtés réels; les autres sont imaginaires. En effet, en combinant les équations (3) et (8), ou obtient
(a — p) /*-!- (a — 7) z' = o, deux géodcsiques imaginaires;
(P — 7)^' — (** — p) x^= Oy deux géodésiques réelles;
(a — 7)j''-|-(p — y)jr^:=o, deux géodésiques imaginaires.
Donc la conique (8) et le cercle (3) ont en commun les cordes géodésiques réelles
(9) «V/P— 7-^^V«~P = 0| «V^P — 7— "^v/a — P = o. Une géodésique quelconque
(10) ax^èx'hcz = o
est tangente à la courbe (8), si on satisfait à la condition
« P 7 Soient Cl), co' les angles que la géodésique (10) fait avec
(") Donné par les quatre grands cercles joignant les intersections de ( 3 ) et (8). Tm.
( >73 ) les géodésiques (9), nous aurons
n sIoL— 6 H-«^^B — 7 - asIoL — 6 — ci/6 — 7
donc, si Ton pose
-==— tang'ô,
en vertu delà condilion (11),. on obtient
cos'w -H cos*«' — 2 ces 2 0 . CCS ot cos«' = sin* 2 0, d'où
w ± w' = 2 0 =r constante,
c^est-à-dire la surface du triangle sphérique formé par les trois géodésiques (9) et (10) est constante, quelle que soit la tangente (10).
Les géodésiques (9) sont appelées lignes cycliques de la conique sphérique (8).
Donc :
Les lignes cycliques (Tune conique sphérique sont les deux arcs de grands cercles (toujours réels) sur lesquels se trouvent les points d'intersection [imaginaires) de la conique et du cercle imaginaire situé à l'infini,
A. Pour obtenir les géodésiques tangentes communes à la conique (8) et au cercle (3), cherchons les points communs à leurs courbes réciproques :
Celles-ci ont en commun les cordes réelles
(i3) 8V^P(a-7)±Jv^7(P-«J=o;
donc les pôles (absolus ou relatifs au cercle (3), ce qui
ilnn. de Mathémat., t. XIX. (JuiUet 1S60.) l8
(«74) est la même chose) de ces lignes, savoir les points
(,4) x=o, 7:»=±V7(P— «):VP(«-7)
sont les sommets réels du quadrilatère complet (imaginaire) circonscrit à la conique (8) et au cercle (3). Les géodésiques (i 3) sont les lignes cycliques de la conique (i 2) , et par conséquent la somme ou la différence des angles qu'elles forment avec une tangente quelconque de cette courbe est constante. Donc la somme ou la différence des arcs géodésiques qui joignent les points (i4) à un point quelconque de la conique (8) est constante.
Ces points (i4) sont appelés les foyers de la conique sphérique (8).
Ainsi :
Les foyers d'une conique sphérique sont les points de concours (toujours réels) des géodésiques tangentes communes à la conique et au cercle imaginaire situé à l'infini (*),
Il s'ensuit :
Deux coniques sphériques homocycliques sont deux coniques dont le tétragone inscrit est aussi insciit au cercle imaginaite situé à r infini.
Deux coniques' sphériques homofocales sont deux coniques dont lé quadrilatère circonscrit est aussi circon^ scrit au cercle imaginaire situé à l'infini,
