Les équations

A = flx* H- bf^ -h «' -4- )^ (x* 4-^* -h z») =r o, A'= flx»4- àf^ -h fz»4- X (j?»-h^«4- ««) = o, représentent deux sphériques homocycliques. Soit U = ax»-f- Pj* -H 7»' -4- 2^j^« H- atar H- a^jr^" = o

{*) Comme dans los coniques planes. Tu.

( 375 ) une autre conique quelconque. Les équations

représenteront deux coniques circonscrites, l'une au tétragone UA (*), l'autre au tétragone UA'. Des équations (i5) on lire

B — B' = |itA— j*'A',

donc l'équation

représente une conique 'circonscrite au tétragone BB' et komocyclique aux coniques A , A', et l'équation

fi'B — pB'=o

représente une conique circonscrite au tétragone BB' et homocyclique à U.

Donc :

Théobemb I. Étant données deux coniques homo^ cycliques Ky h! et une troisième conique quelconque U, si aux tétragones UA, UA^ on circonscrit deux coniques quelconques B, B', le tétragone BB' sera inscrit tout à la fois à une conique homocyclique aux deux A , A' et à une conique homocyclique à U. (Chasles. )

6. Soient encore données les coniques A, A', U, d'où Ton déduit B, B'. On peut donner à la fonction B+A^B' la forme

Il suffit, en effet, de poser

^-l-i = o, fi fA'=:o;

(*) Donné par rinterseclion de U et de A. Tu.

( ^76) alors on a

c'est-à-dire les coniques 6, B' sont homocycliques. Ainsi :

Théorème II. Étant données deux coniques homo^ cycliques A , A' et une troisième conique quelconque U, 51 au télragone UA on circonscrit une conique quelconque B, on pourra circonscrire au tétragone UA' une conique W homocyclique à B. (Chasles.)

7. Soient données trois coniques homocycliques A =iix»4- /'j'-h c«M-> (j-»-4-^*4-«') = o, A' = ax»4- by^-hcz^-hy (jr^ + y* -h z") = o , A''=rax»+ ô/*-f-c«»4- V'(j:»-f-r*+z*)=o, '

et une quatrième conique quelconque

U = o, d'où nous dérivons les trois coniques qui suivent :

B =U-f-fi A =o,

B'' = U-4-fi"A''=o.

On peut circonscrire au tétragone BB' une conique qui coïncide avec B". En effet , on a

B-4-/B'=(i -|-X)U-hfiA-hX>'A',

donc , si nous posons

on obtient

BH-XB'=(n-X)B".

Donc :

Théorème III. Étant données trois coniques homo-

( ^77 ) cycliques A , A', A''^ et une quatrième conique quelconque U, si aux deux tétragones UA , UA' on circonscrit deux coniques B, B', les deux tétragones UA^' et BB' seront inscrits dans une même conique B". (Chasles.)