Soient données trois coniques
circonscrites à un même tctragone. On décrit une conique
U' = U + > (x» +r* + z') == o komocyclique à U, et une antre conique
homocycliqae à Y . U s'ensuit que la conique
W = U' - V' = W + l> — fi) (x» -4-7» 4- 8') = o
est tout à la fois circonscrite au tétragone U'V et homocyclique à W. De plus, les tétragones UV, 13' V sont inscrits dans une même conique
K= fitU'-. XV' = fiU — XV= o.
Ainsi :
Théorème IV. Quand trois coniques U, V, W sont circonscrites à un même tétragone, si l'on décrit deux coniques U', V homocycliques à\i et\ respectivement, on pourra circonscrire au tétragone U ' V une conique W komocyclique à la troisième conique W. Et les deux tétragones UV, U'V auront leurs huit sommets situés dans une même conique. (Chasles.)
U suit d'ici qu'on aura deux faisceaux homograpbiques de coniques, dont les bases sont les tétragones UV, U' V, et les deux coniques correspondantes
U — iV = o, U'— iV' = o
sont toujours homocycliques.
Il est évident qu*à la condition d'être homocycliques, on peut substituer celle de rencontrer une conique donnée dans un même système de quatre points réels ou imaginaires. En vertu de cette observation , les quatre théorèmes de M. Chasles ne constituent qu'un théorème unique, auquel on peut donner l'énoncé suivant :
Étant données plusieurs coniques
U = o, V=o, W,= U — #VV=o
circonscrites à un même tétragone, et une autre conique quelconque
si aux tétragones UC, VC on circonscrit deux coniques U', V, on pourra circonscrire aux tétragones W^C res^ pectiv^ement des coniques W^. qui soient toutes circon" sentes au tétragone U' V. Et les deux tétragones UV, U^V auront leurs huit sommets situés sur une même conique
Il s'ensuit encore :
Si deux tétragones UK , U' K inscriis dans une même conique K sont les bases de deux faisceaux homogra^ phiques de coniques ^ les points d'intersection de deux coniques correspondantes
>W.= {^-i,f*)U— /,K = o, \ Wr== (X — /V/i) U'— /VK = o
se trouifent toujours dans une même conique U — U'=o.
Et réciproquement ; -^Jin que toutes les intersections des couples de coni-
( ^79 ) ques correspondantes de deux faisceaux homographùfues appartiennent à une même conique, Ufaut que les tétragoneSj bases des faisceaux, soient inscrits à une même conique.
Ces théorèmes généraux ne cessent pas d'avoir lieu en substituant aux coniques circonscrites à un même tétragone des courbes spkériques de Tordre n circonscrites à un même polygone sphérique de n* sommets.
Théorème général comprenant comme cas très-particulier la question 498 (p. i54).
On donne dans un plan : i^ une droite fixe; a^ un point O sur cette droite; 3** un point fixe A. Trouver une courbe telle, qu'en menant par un point quelconque pris sur cette courbe une tangente, et par le point A une parallèle à cette tangente, ces deux droites interceptent sur la droite fixe deux segments comptés du point O, liés entre eux par une relation algébrique du degré n.
On peut considérer ces segments comme des coordonnées tangentielles ; donc Fenveloppe demandée est une courbe de la classe n (voir la Géométrie supérieure de M. Chaslesjchap. XXIV).
On donne dans Fespace : i** une droite fixe; a** un point O sur cette droite-, 3° deux points fixes A, B. Trouver une surface telle, qu'en menant par un point quelconque pris sur cette surface un plan tangent, et par A, B deux plans parallèles au plan tangent, ces trois plans interceptent sur la droite fixe trois segments comptés du point O, liés entre eux par une relation algébrique du degré n.
L'enveloppe demandée est une surface de la classe /i.
( a8o ) THÉORÈME B INÉGALITÉ SlIR IIN PROBUiT GONTIMI;
D'APais M. xs D' SCHLOMILCH.
Théorème. i'.tiV3'. . . n* > «".
Démonstration. On a Tiiiégalité
Wfl"^' > -
lorsque a >► 6 > q.
Faisant
b =:m^ a = /H H- 1 , il vient
m"" X/n + i)"^' (excepté pour iw = i),
Faisant successivement m égal à i, a,3,...>7i — i, et multipliant ces inégalités^ on obtient
Corollaire, La série
jOgJ^ jOg2 , H 9
devient infinie lorsque n = oo .
En effet
^ logi4-loga-h...-f-log/»
log(i.a.3.../i)
( .8. ) Or alogi . 2.3 . . • /!>- nlog« [voir ci-dessus), donc
<lonc, eic.
